Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

2
y
y 4 x 2
0 2
FIGURA 2.23 lím
y
x:2 - 24 - x2 = 0
lím
(ejemplo 1).
x: - 2 + 24 - x2 = 0
2
1
0
y
1
2
3
y f(x)
FIGURA 2.24 Gráfica de la función
del ejemplo 2.
4
x
x
EJEMPLO 1 Límites laterales para un semicírculo
2.4 Límites laterales y límites al infinito 103
El dominio de ƒsxd = 24 - x es [-2, 2]; su gráfica es el semicírculo de la figura 2.23.
Tenemos
2
lím
x: -2 + 24 - x2 = 0 y lím
x:2 - 24 - x2 = 0.
La función no tiene límite lateral izquierdo en x = –2, ni límite lateral derecho en x = 2.
Tampoco tiene límites bilaterales normales, ni en –2 ni en 2.
Los límites laterales tienen todas las propiedades listadas en el teorema 1 de la sección
2.2. El límite lateral derecho de la suma de dos funciones es la suma de los límites laterales
derechos, y así sucesivamente. Los teoremas de límites de funciones polinomiales
y racionales se satisfacen con límites laterales, lo mismo que el teorema del sandwich y el
teorema 5. Los límites laterales están relacionados con los límites de la manera siguiente.
TEOREMA 6
Una función f(x) tiene un límite cuando x se aproxima a c si y sólo si existen los
límites laterales izquierdo y derecho, y además estos límites laterales son iguales:
lím
x:c
ƒsxd = L 3 lím
x:c
ƒsxd = L y lím ƒsxd = L.
- +
EJEMPLO 2 Límites de la función graficada en la figura 2.24
En x = 0:
x:c
y no existen. La función no está definida a
la izquierda de x = 0.
En límx:1 aunque ƒs1d = 1,
- x = 1:
ƒsxd = 0
En x = 2:
En x = 3:
límx:0 + ƒsxd = 1,
límx:0 - ƒsxd
límx:1 + ƒsxd = 1,
no existen. Los límites laterales derecho e izquierdo no
son iguales.
límx:1 ƒsxd
límx:2 - ƒsxd = 1,
límx:2 + ƒsxd = 1,
límx:2 ƒsxd = 1 aunque ƒs2d = 2.
límx:3 - ƒsxd = límx:3 + ƒsxd = límx:3 ƒsxd = ƒs3d = 2.
En límx:4 aunque ƒs4d Z 1,
- x = 4:
ƒsxd = 1
y no existen. La función no está definida a
la derecha de x = 4.
En cualquier otro punto c en [0, 4], f(x) tiene límite f(c).
límx:4 + ƒsxd
límx:0 ƒsxd
límx:4 ƒsxd
Definición formal de límites laterales
La definición formal de límite que se dio en la sección 2.3 puede modificarse fácilmente
para los límites laterales.