Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

(–1, 1) 1 (1, 1)
–2
(–2, 4)
–1
4
y
0 1 2
FIGURA 1.19 La parábola
(ejemplo 8).
Vértice
en el origen
Eje de simetría
1
y
y x 2
(2, 4)
⎛3,
9
⎝2
4
⎛ ⎝
x
y = x 2
y 2x 2
y x2
2
4 3 2 2 3 4
1
y x 2
y x2
10
y x2
6
FIGURA 1.20 Además de determinar la
dirección en la que abre la parábola
y = ax , el número a es un factor de
escalamiento. La parábola se ensancha
conforme a se acerca a cero, y se estrecha
conforme ƒ a ƒ aumenta.
2
x
EJEMPLO 8 La parábola y = x 2
Considere la ecuación Algunos de los puntos que satisfacen esta ecuación son
s0, 0d, s1, 1d, a y s -2, 4d. Estos puntos (y todos los demás que satisfacen
la ecuación), forman una curva suave llamada parábola (figura 1.19).
3
y = x
9
, b, s -1, 1d, s2, 4d,
2 4 2 .
La gráfica de una ecuación de la forma
y = ax 2
1.2 Rectas, círculos y parábolas 15
es una parábola cuyo eje de simetría es el eje y. El vértice de la parábola (el punto donde
la parábola interseca su eje de simetría) está en el origen. La parábola abre hacia arriba si
y hacia abajo si Entre más grande sea el valor de la parábola será más
angosta (figura 1.20).
Generalmente, la gráfica de es una parábola desplazada en forma
horizontal y vertical de la parábola y = x En la sección 1.5 discutiremos con más detalle
el desplazamiento horizontal y vertical de las gráficas de las funciones cuadráticas.
2 y = ax
.
2 a 7 0
a 6 0.
ƒ a ƒ,
+ bx + c
La gráfica de y = ax 2 + bx + c, a Z 0
La gráfica de la ecuación y = ax es una parábola. La parábola
abre hacia arriba si a 7 0 y hacia abajo si a 6 0. El eje x es la recta
2 + bx + c, a Z 0,
x =- b
2a .
El vértice de la parábola es el punto donde el eje y la parábola se intersecan. Su
coordenada x es x = -b>2a; su coordenada y se encuentra sustituyendo
x = -b>2a en la ecuación de la parábola.
Observe que si a = 0, tenemos y = bx + c la cual es la ecuación de una recta. El
eje, dado por la ecuación (2), puede encontrarse completando el cuadrado o usando una
técnica que estudiaremos en la sección 4.1.
EJEMPLO 9 Trazar la gráfica de una parábola
Trazar la gráfica de la ecuación
y =- 1
2 x2 - x + 4.
Solución Comparando la ecuación con y = ax vemos que
2 + bx + c
a =- 1
, b = -1, c = 4.
2
Dado que a 6 0, la parábola abre hacia abajo. De acuerdo con la ecuación (2), su eje es la
recta vertical
x =- b
2a
=- s -1d
2s -1>2d
= -1.
(2)