Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

T
b. Suponga que la posición s del cuerpo que se mueve a lo largo
de una recta coordenada es una función diferenciable del
tiempo t. ¿Es cierto que una vez que se conoce una antiderivada
de la función velocidad ds>dt es posible encontrar el des-
plazamiento del cuerpo de t = a a t = b , aun si no se cono-
ce la posición exacta del cuerpo en ninguno de esos tiempos?
Justifique su respuesta.
94. Elevación desde la Tierra Un cohete se eleva desde la superficie
de la Tierra con una aceleración constante de 20 m>seg
¿Qué tan rápido irá el cohete 1 min después?
2 .
95. Frenado oportuno de un automóvil Usted está conduciendo
su automóvil a 60 millas/hora ( 88 pies>seg)
constantes por una
carretera, cuando ve un accidente adelante y frena de golpe. ¿Qué
desaceleración constante se requiere para detener su automóvil en
242 pies? Para averiguarlo, lleve a cabo los pasos siguientes.
1. Resuelva el problema de valor inicial
Condiciones iniciales: ds
Ecuación diferencial:
= 88 y s = 0 cuando t = 0.
dt d2s = -k sk constanted
2
dt
Medir el tiempo y la distancia desde
que se pisaron los frenos.
2. Encuentre los valores de t que hacen ds>dt = 0. (La respuesta
involucrará a k).
3. Encuentre el valor de k que hace s = 242 para el valor de t que
encontró en el paso 2.
96. Frenado de una motocicleta El programa “Motociclista seguro”
que pusieron en práctica las autoridades del estado de Illinois
exige a los motociclistas que sean capaces de frenar de 30 millas-
/hora (44 pies> seg) a 0 en 45 pies. ¿Qué desaceleración constante
se requiere para lograrlo?
97. Movimiento a lo largo de una recta coordenada Una partícula
se mueve sobre una recta coordenada con aceleración
d sujeta a las condiciones ds>dt = 4
y s = 0 cuando t = 1. Encuentre
a. la velocidad y = ds>dt en términos de t.
b. la posición s en términos de t.
2 s>dt 2 a =
= 152t - A3> 2tB ,
98. El martillo y la pluma Cuando el astronauta del Apolo 15 David
Scott dejó caer un martillo y una pluma en la Luna para
demostrar que en el vacío todos los cuerpos caen con la misma
aceleración (constante), lo hizo desde una altura aproximada de 4
pies respecto del nivel del suelo. La película del evento que se exhibió
por televisión muestra que el martillo y la pluma caen más
despacio que en la Tierra, en donde tales objetos tardarían sólo
medio segundo en caer los 4 pies en el vacío. ¿Cuánto tiempo tardaron
en caer los 4 pies el martillo y la pluma en la Luna? Para
averiguarlo, resuelva el problema de valor inicial siguiente para s
como una función de t. Después encuentre el valor de t que hace a
s igual a 0.
Condiciones iniciales: ds
Ecuación diferencial:
= 0 y s = 4 cuando t = 0
dt d 2s = -5.2 pies>seg2
2 dt
4.8 Antiderivadas 317
99. Movimiento con aceleración constante La ecuación estándar
para la posición s de un cuerpo que se mueve con aceleración
constante a lo largo de una recta coordenada es
donde y0 y s0 son la velocidad y la posición del cuerpo en el
tiempo t = 0. Deduzca esta ecuación resolviendo el problema
de valor inicial
100. Caída libre cerca de la superficie de un planeta En el caso
de una caída libre cerca de la superficie de un planeta donde la
aceleración debida a la gravedad tiene una magnitud constante
de g unidades de longitud seg 2 > , la ecuación (1) del ejercicio 99
toma la forma
donde s es la altura del cuerpo por encima de la superficie. La
ecuación tiene un signo menos porque la aceleración actúa hacia
abajo, en la dirección de decrecimiento de s. La velocidad es
positiva si el objeto se eleva en el tiempo t = 0,
y negativa si el
objeto cae.
En lugar de usar el resultado del ejercicio 99, puede obtener
la ecuación (2) directamente resolviendo un problema de valor
inicial apropiado. ¿Cuál sería dicho problema? Resuélvalo para
asegurarse de que es correcta, y explique los pasos que va realizando
para encontrar la solución.
Teoría y ejemplos
101. Suponga que
Encuentre
s = a
2 t 2 + y0 t + s0,
Ecuación diferencial: d2s = a 2
dt
Condiciones iniciales: ds
dt = y0 y s = s0 cuando t = 0.
s =- 1
2 gt 2 + y0 t + s0,
ƒsxd = d
d
A1 - 2xB y gsxd = sx + 2d.
dx dx
a. ƒsxd dx
b.
L
c. [-ƒsxd] dx
d.
L
e. [ƒsxd + gsxd] dx f.
L
gsxd dx
L
[-gsxd] dx
L
102. Unicidad de las soluciones Si tanto la función diferenciable
y = Fsxd como la función diferenciable y = Gsxd resuelven el
problema de valor inicial
dy
dx = ƒsxd, ysx0d = y0,
[ƒsxd - gsxd] dx
L
en un intervalo I, ¿debe Fsxd = Gsxd para toda x en I? Justifique
su respuesta.
y0
(1)
(2)