Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

652 Capítulo 9: Aplicaciones adicionales de integración
BIOGRAFÍA HISTÓRICA
Adrien Marie Legendre
(1752-1833)
Por lo tanto, una fórmula para la solución general de la ecuación (1) está dada por la ecuación
(3), en donde y(x) está dada por la ecuación (4). Sin embargo, en lugar de memorizar
la fórmula, sólo recuerde cómo encontrar un factor integrante una vez que tiene la forma
estándar, con P(x) correctamente identificada.
Para resolver la ecuación lineal y¿ +Psxdy = Qsxd, multiplique ambos lados
por un factor integrante ysxd = e 1
Psxd dx
e integre ambos lados.
En este procedimiento, cuando integre el producto del lado izquierdo siempre obtendrá
el producto y(x)y del factor integrante y la función solución y por la forma en que se definió
y.
EJEMPLO 2 Resolución de una ecuación diferencial lineal de primer orden
Resolver la ecuación
Solución Primero escribimos la ecuación en la forma estándar (ejemplo 1):
dy
dx
de manera que Psxd = -3>x es identificada.
El factor integrante es
- 3 x y = x,
Ahora multiplicamos ambos lados de la forma estándar por y(x), e integramos:
1
x3 # a dy
dx - 3 1
x yb =
x3 # x
1 dy
3 x dx
d
dx
x dy
dx = x2 + 3y, x 7 0.
ysxd = e 1 Psxd dx = e 1
s-3>xd dx
3 1
- y = 4 x x2 1 1
a yb = 3 x x2 1
x 3 y = L 1
x
1
x 3 y =-1 x
= e -3 ln ƒ x ƒ
-3 ln x
= e
ln x-3
= e
2 dx
+ C.
= 1
. 3 x
El lado izquierdo es d dx sy # yd.
Integrar ambos lados.
Al despejar y en esta última ecuación se obtiene la solución general:
y = x 3 a- 1 x + Cb = -x2 + Cx 3 , x 7 0.
La constante de integración es
0, de manera que y asume un
valor lo más sencillo posible.
x 7 0