Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

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6.1
Capítulo
6
APLICACIONES DE LAS
INTEGRALES DEFINIDAS
INTRODUCCIÓN En el capítulo 5 descubrimos la relación entre el proceso de integración
y las sumas de Riemann
asociadas con una partición P del intervalo cerrado finito [a, b]. Ahí aprendimos que, para
una función continua f en [a, b], el límite de SP cuando la norma de la partición 7P7 se
aproxima a cero es el número
La
b
n
SP = a ƒsckd ¢xk
k = 1
ƒsxd dx = Fsbd - Fsad
donde F es cualquier antiderivada de f. Aplicamos esto a los problemas en que se nos pidió
calcular el área entre el eje x y la gráfica de y = ƒsxd para a … x … b y para determinar
el área comprendida entre dos curvas.
En este capítulo veremos cómo la aplicación de estos conceptos nos permite determinar
volúmenes, longitudes de curvas planas, centros de masa, áreas de superficies de volúmenes,
trabajo y fuerzas de fluido sobre paredes planas. Todas estas medidas son límites
de sumas de Riemann de funciones continuas en intervalos cerrados, esto es, integrales definidas
que pueden evaluarse mediante el Teorema Fundamental del Cálculo.
Cálculo de volúmenes por secciones transversales y por rotación
alrededor de un eje
En esta sección se definirán volúmenes de sólidos cuyas secciones transversales son regiones
planas. La sección transversal de un sólido S es la región plana formada por la intersección
de S con un plano (figura 6.1).
Suponga que queremos determinar el volumen de un sólido S como el de la figura 6.1.
Para empezar, ampliaremos la definición que da la geometría clásica de un cilindro, para
aplicarlo a los sólidos cilíndricos con base arbitraria (figura 6.2). Si se conocen el área de
la base, A, y la altura h del sólido cilíndrico, su volumen es
Volumen = área de la base * altura = A # h.
Esta ecuación constituye la base para definir los volúmenes de muchos sólidos no cilíndricos
a partir del método por partes.
Si la sección transversal del sólido S en cada punto x del intervalo [a, b] es una región
R(x) de área A(x), y A es una función continua de x, podemos definir y calcular el volumen
del sólido S como una integral definida de la manera siguiente: