Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

a
0
y
a
a
y x
b a
FIGURA 5.13 El área de
esta región trapezoidal es
A = sb 2 - a 2 d>2.
0
y
x 0 a
x 1
b
b
(c k , f(c k ))
x
y f(x)
x n b
FIGURA 5.14 Una muestra de valores de
una función en un intervalo [a, b].
c k
x
En conclusión, tenemos la regla siguiente para integrar f(x) = x:
b
x dx =
La
b 2
2
a2
- , a 6 b
2
5.3 La integral definida 351
Este cálculo da el área de un trapezoide (figura 5.13). La ecuación (1) sigue siendo válida
cuando a y b son negativos. Cuando el valor de la integral definida es (b 2 -
a es un número negativo, el negativo del área del trapezoide que cae hasta la recta
y = x debajo del eje x. Cuando a 6 0 y b 7 0, la ecuación (1) sigue siendo válida, y la
integral definida da la diferencia entre dos áreas, el área debajo de la gráfica y arriba de
[0, b], menos el área debajo [a, 0] y sobre de la gráfica.
Los resultados siguientes también pueden establecerse usando un cálculo con suma de
Riemann similar al del ejemplo 4 (ejercicios 75 y 76).
2 a 6 b 6 0,
d>2
b
c dx = csb - ad, c cualquier constante
La
b
x
La
2 dx =
b 3
3
a3
- , a 6 b
3
Revisión del valor promedio de una función continua
En la sección 5.1 hablamos informalmente del valor promedio de una función continua no
negativa f en un intervalo [a, b], lo que nos lleva a definir este promedio como el área debajo
de la gráfica de y = ƒsxd dividida entre b - a. En notación de integrales escribimos
esto como
Promedio =
Podemos usar esta fórmula para dar una definición precisa del valor promedio de cualquier
función continua (o integrable), si es positiva, negativa o ambos.
Es posible utilizar, de manera alternativa, el siguiente argumento. Empezamos con un
concepto aritmético: el promedio de n números es su suma dividida entre n. Una función continua
f en [a, b] puede tener una infinidad de valores, pero aún así podemos tomar una
muestra de ellos de manera ordenada. Dividimos [a, b] en n subintervalos del mismo ancho
¢x = sb - ad>n y evaluamos f en el punto ck de cada uno (figura 5.14). El promedio
de los n valores de la muestra es
ƒsc1d + ƒsc2d + Á + ƒscnd
n
= 1 n
n a ƒsckd
k = 1
= ¢x
b - a a ƒsckd
=
1
b - a
ƒsxd dx.
La
n
k = 1
n
1
b - a a ƒsckd ¢x
k = 1
b
¢x =
(1)
(2)
(3)
b - a
n , entonces 1 ¢x
n =
b - a