Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

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48 Capítulo 1: Preliminares Elipses En los ejercicios 71-76 se dan las ecuaciones de elipses en forma general; cambie cada ecuación a la forma estándar y trace la gráfica de la elipse. 71. 72. 73. 74. 75. 3sx - 1d2 + 2s y + 2d 2 sx + 1d = 6 2 + 2y 2 3x = 4 2 + s y - 2d 2 16x = 3 2 + 7y 2 9x = 112 2 + 25y 2 = 225 76. 6 ax + 3 2 b 2 + 9 ay - 1 2 b 2 = 54 77. Escriba una ecuación para la elipse sx desplazada 4 unidades hacia la izquierda y 3 unidades hacia arriba. Trace la gráfica de la elipse e identifique su centro y su eje mayor. 2 >16d + sy 2 >9d = 1 78. Escriba una ecuación para la elipse sx desplazada 3 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia abajo. Trace la gráfica de la elipse e identifique su centro y su eje mayor. 2 >4d + sy 2 >25d = 1 1.6 B' B θ 1 C A r Círculo unitario Círculo con radio s FIGURA 1.63 La medida en radianes de un ángulo ACB del arco u es la longitud AB en el círculo unitario con centro en C. El valor de u se puede encontrar a partir de cualquier otro círculo, como la razón s>r. Así, s = ru es la longitud de arco en un círculo con radio r cuando u está medido en radianes. Fórmulas de conversión Para convertir grados a radianes: multiplicar por 1 radianes = 180 1 grado = p 180 p s L57d grados p s L0.02d radianes 180 Funciones trigonométricas A' Para convertir radianes a grados: multiplicar por 180 p T T Funciones pares e impares 79. Suponga que f es una función par, g es una función impar y ambas, ƒ y g están definidas para todo número real . ¿Cuáles de las siguientes funciones (de estar definidas) son pares? ¿Cuáles son impares? a. b. c. d. e. g f. ƒ g g. g ƒ h. ƒ ƒ i. g g 2 ƒ = gg 2 ƒg ƒ>g g>ƒ = ƒƒ 80. ¿<strong>Una</strong> función puede ser par e impar al mismo tiempo? Justifique su respuesta. 81. (Continuación del ejemplo 1) Trace las gráficas de las funciones y junto con su (a) suma, (b) producto, (c) sus dos restas, (d) sus dos cocientes, en el mismo plano cartesiano. 82. Sean y gsxd = x Trace las gráficas de f y g junto con ƒ g y g ƒ. 2 ƒsxd = 2x gsxd = 21 - x ƒsxd = x - 7 . En esta sección se revisan las funciones trigonométricas básicas. Las funciones trigonométricas son importantes, porque son periódicas o se repiten y, por lo tanto, éstas modelan muchos procesos naturales periódicos. Medida en radianes En navegación y astronomía los ángulos se miden en grados, pero en el cálculo es mejor usar las unidades llamadas radianes, debido a que simplifican los cálculos. La medida en radianes del ángulo ACB en el centro del círculo unitario (figura 1.63), es igual a la longitud del arco que corta ACB del círculo unitario. En la figura 1.63 se muestra que s = ru es la longitud del arco de un círculo con radio r cuando el ángulo subtendido u que produce el arco se mide en radianes. Como la circunferencia del círculo es 2p y una revolución completa del círculo equivale a 360º, la relación entre radianes y grados está dada por Por ejemplo, en radianes, 45º equivalen a y p>6 radianes es p radianes = 180°. 45 # p 180 p # 180 6 p = p 4 rad, = 30°. En la figura 1.64 se muestran los ángulos de dos triángulos muy usuales en ambas medidas. Se dice que un ángulo en el plano xy está en posición estándar o canónica si su vértice se ubica en el origen y su rayo (lado) inicial está a lo largo del eje x positivo (figura 1.65). A los ángulos medidos en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj desde el eje x positivo, se les asignan medidas positivas; a los ángulos medidos en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj se les asignan medidas negativas.
2 Grados Radianes 45 45 90 1 30 1 2 2 3 2 p 4 p 60 90 3 1 1 1 p 6 p 2 FIGURA 1.64 Los ángulos de dos triángulos cualesquiera, en grados y en radianes. p 4 p 2 3 1 y Rayo terminal Medida positiva Rayo inicial x 1.6 Funciones trigonométricas 49 Rayo terminal FIGURA 1.65 Ángulos en la posición estándar en el plano xy. Cuando se usan ángulos para describir rotaciones en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj, nuestras medidas pueden ser arbitrariamente mayores que 2p radianes o 360º. De manera similar, los ángulos que describen rotaciones en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj pueden tener medidas negativas de cualquier tamaño (figura 1.66). y y 9p 4 3p 4 x x y y 3 5p 2 FIGURA 1.66 Medidas en radianes distintas de cero; pueden ser positivas o negativas, y pueden ir más allá de 2p. y x x Rayo inicial Medida negativa x
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THOMAS CÁLCULO UNA VARIABLE UNDÉC
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CÁLCULO UNA VARIABLE U N D É C I
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CONTENIDO Prefacio ix Volumen I 1 P
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PREGUNTAS DE REPASO 461 EJERCICIOS
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13 Funciones con valores vectoriale
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PREFACIO INTRODUCCIÓN Al preparar
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1 O y u 1 cos u Q ⎧ ⎪ ⎪ ⎪
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Creación de gráficas a partir de
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0 y y 1 x FIGURA 2.56 La función
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O P FIGURA 2.63 L es tangente al c
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h (b) r 6 cm Volumen del líquido
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3.1 ENSAYO HISTÓRICO La derivada C
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Muchas veces es necesario conocer l
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. Encuentre los valores para b y c
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Mínimo absoluto No hay un valor me
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(c) Una solución intermedia 12 mil
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. Use el teorema de Rolle para prob
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Precaución Para aplicar la regla d
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Cómo determinar el centro de masa
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d y c 0 y L(y) FIGURA 6.54 La regi
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Determinación de áreas de superfi
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c. Demuestre que el área de la sup
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Fuerza (lb) F 0 Sin comprimir 4 F x
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389 pies Cuarto de circunferencia d
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9. Ascensión del cable de un eleva
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28. Golf Una pelota de golf de 1.6
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y a y Superficie del fluido Placa v
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EJERCICIOS 6.7 En los ejercicios si
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a. Determine la fuerza del fluido c
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27. Determine el centroide de una p
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0 12. En los puntos de la circunfer
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7.1 Funciones inversas y sus deriva
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El proceso de pasar de f a f -1 pue
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y y f(x) b f(a) (a, b) 0 a x 7.1
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EJERCICIOS 7.1 Identificación grá
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Teoría y aplicaciones 45. Si f(x)
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TABLA 7.1 Valores comunes de ln x,
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA John Napier (
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1 y 1 2 0 y 1 x 1 2 FIGURA 7.10 El
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EJEMPLO 5 L0 p>6 tan 2x dx = L0 Dif
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Diferenciación logarítmica En los
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Números trascendentes y funciones
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7.3 La función exponencial 489 El
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Utilizamos la condición inicial y(
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EJERCICIOS 7.3 7.3 La función expo
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. Demuestre, haciendo referencia a
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y 2 1 0 1 2 y 2 x y x y log 2x F
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Casi todos los alimentos son ácido
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1 49. 50. 5 L -u 2 du L0 -u du 22 5
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7.5 Crecimiento y decaimiento expon
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Para el gas radón 222, t se mide e
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7.5 Crecimiento y decaimiento expon
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a. Si t representa el tiempo, en a
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22. Una viga a temperatura desconoc
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(c) x 2 crece más rápido que ln x
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EJERCICIOS 7.6 1. ¿Cuáles de las
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Algoritmos y búsquedas 23. a. Supo
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7.7 Funciones trigonométricas inve
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x 23>2 22>2 12 > -1>2 - 22>2 - 23>2
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x 23 1 23>3 - 23>3 -1 - 23 3 5 2 t
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7.7 Funciones trigonométricas inve
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EJEMPLO 9 Uso de la fórmula d dx s
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(b) (c) EJEMPLO 12 Uso de la sustit
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Valores de funciones trigonométric
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126. La región que está entre la
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7.8 Funciones hiperbólicas 7.8 Fun
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7.8 Funciones hiperbólicas 537 Las
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TABLA 7.9 Identidades para las func
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7.8 Funciones hiperbólicas 541 Sol
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11. Utilice las identidades senh sx
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1 a y 0 b s 81. Volumen Una región
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5. ¿Qué es la función logaritmo
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99. ¿Verdadero o falso? Justifique
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17. Utilice la figura siguiente par
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8.1 Capítulo 8 TÉCNICAS DE INTEGR
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Solución EJEMPLO 2 Completar el cu
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA George David
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dx dx 7. 8. L 1x s 1x + 1d L x - 1x
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8.2 Integración por partes Como y
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tenemos cuatro posibles opciones: 1
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1 0.5 -1 0 -0.5 -1 y y xe -x 1 2 3
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Los ejercicios adicionales, al fina
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Sustitución e integración por par
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8.3 Integración de funciones racio
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Hay varias formas de resolver el si
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Sustituimos estos valores en la ecu
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EJEMPLO 7 Integración con el méto
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EJERCICIOS 8.3 8.3 Integración de
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c. Grafique la función y = para 0
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Para el término que incluye a cos
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EJERCICIOS 8.4 y Productos de senos
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x tan a -1 -1 -1 2 - 2 2 - 2
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5x 25x 2 4 2 FIGURA 8.6 Si entonc
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EJERCICIOS 8.5 Sustituciones trigon
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8.6 8.6 Tablas de integrales y sist
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Solución Utilizamos la fórmula 99
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Con n = 3 y a = 1, tenemos El resul
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También se puede hallar la integra
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Sustitución y tablas de integrales
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111. a. Utilice un software matemá
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y y x 2 1 0 1 25 16 5 4 36 16 6 4
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2 1 y y x sen x 0 1 2 FIGURA 8.12
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA Thomas Simpso
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gular no podemos determinar el valo
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146 pies 122 pies 76 pies 54 pies 4
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28. Abastecimiento de un estanque d
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Utilice las funciones Trace o Zoom
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Área de una superficie Determine,
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA Lejeune Diric
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1 0 y a y 1 x Área 2 2a 1 FIGUR
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Solución L2 q x + 3 sx - 1dsx 2 dx
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1 y y e -x2 (1, e -1 ) 0 1 b y e
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1 0 y y 1 1 x 2 1 y 1 x 2 FIGURA
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EJERCICIOS 8.8 Evaluación de integ
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T a. Dibuje la gráfica de f. Deter
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43. 44. L sen3 u cos2 u sen3 du u d
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Integrales impropias Evalúe las in
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T 24. Determinación de un volumen
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o ≠sxd L a x e b x 2p A x e 1>s12
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9.1 Campos de pendientes y ecuacion
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9.1 Campos de pendientes y ecuacion
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FIGURA 9.4 La razón a la que sale
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-4 -4 -4 19. y¿ =x + y 20. y¿ =y
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9.2 Ecuaciones diferenciales lineal
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9.2 Ecuaciones diferenciales lineal
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i I V R I e 0 L R L 2 R i (1 eRt
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EJERCICIOS 9.2 Ecuaciones lineales
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31. Constantes de tiempo Al número
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Después se calculan las aproximaci
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA Carl Runge (1
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Exploración gráfica de ecuaciones
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2 y 1 2 0 -1 y' 0 y'' 0 y' 0 y''
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F r ky m F p mg y positiva y 0 F
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EJERCICIOS 9.4 Líneas de fase y cu
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9.5 9.5 Aplicaciones de ecuaciones
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6000 5000 P Población mundial (198
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M 100 50 0 P FIGURA 9.25 Un campo
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Trayectoria ortogonal FIGURA 9.28 U
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TABLA 9.8 Datos del patinaje de Kel
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T 34. Euler: En los ejercicios 35 y
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RESPUESTAS CAPÍTULO 1 Sección 1.1
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7. (a) No es una función de x, ya
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9. (a) ƒ(g(x)) (b) j(g(x)) (c) g(g
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7. cos x = -4>5, tan x = -3>4 9. 11
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37. 39. 41. (a) (b) m = 1059.14; é
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11. (a) ƒsxd = sx 2 - 9d>sx + 3d x
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35. 37. 4 y = x = x + 1 - 2 - 4 3 x
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Ejercicios adicionales y avanzados,
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(c) El cuerpo cambia de dirección
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55. (a) y = 2px - 2p, (b) 57. Punto
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121. 123. dS = prh0 2r 125. (a) 4%
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La función ƒsxd = x tiene un punt
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17. y 19. 21. y 23. Máx loc (0, 0)
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91. (b) de manera positiva si k 6 0
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87. y = 2x 89. 3>2 - 50 91. 93. (a)
Page 733 and 734:
7. Todas ellas 9. b 11. 13. a k = 1
Page 735 and 736:
Ejercicios prácticos, páginas 388
Page 737 and 738:
Ejercicios de práctica, páginas 4
Page 739 and 740:
13. 15. 17. 19. 21. 23. 25. 27. 29.
Page 741 and 742:
Capítulo 8: Respuestas R-39 ƒ ƒ
Page 743 and 744:
Capítulo 8: Respuestas R-41 17. 19
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71. 1 2 Az2z2 + 1 + ln ƒ z + 2z 2
Page 747 and 748:
3. 5. (b) (c) y¿ =y 3 - y = s y +
Page 749:
Ejercicios prácticos, páginas 682
Page 752 and 753:
I-2 Índice Calculadoras, graficaci
Page 754 and 755:
I-4 Índice Desplazamiento, 172, 17
Page 756 and 757:
I-6 Índice implícitamente, 205-20
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I-8 Índice Leyes de los exponentes
Page 760 and 761:
I-10 Índice Problema de primer ord
Page 762 and 763:
I-12 Índice en integrales múltipl
Page 765:
Fórmulas para Grad, Div, Espiral y
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Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

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