Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

50 Capítulo 1: Preliminares
sen
hipotenusa
op
hip
ady
cos
hip
tan
op
ady
adyacente
csc
hip
op
hip
sec
ady
cot
ady
op
FIGURA 1.67 Razones
trigonométricas de un ángulo
agudo.
P(x, y)
r
0
y
opuesto
FIGURA 1.68 Las funciones
trigonométricas de un ángulo
general u se definen en términos
de x, y y r.
u
y
hipotenusa
r
r
u
0 x
adyacente
x
y
P(x, y)
opuesto
FIGURA 1.69 Las definiciones nueva y
anterior coinciden para ángulos agudos.
x
Convención para ángulos: uso de radianes
A partir de este momento, en este libro se dará por sentado que todos los ángulos
están medidos en radianes, a menos que se indique explícitamente que se trata de
grados o alguna otra unidad. Cuando hablemos del ángulo p>3, nos estaremos
refiriendo a p>3 radianes (que equivalen a 60º), y no a p>3 grados. Cuando resuelva
sus ejercicios de cálculo, mantenga la calculadora en modo de radianes.
Las seis funciones trigonométricas básicas
Probablemente usted conoce la definición de las funciones trigonométricas de un ángulo
agudo en términos de los lados de un triángulo rectángulo (figura 1.67). A continuación
ampliaremos esta definición a ángulos obtusos y negativos. Para ello, colocaremos primero
el ángulo en posición estándar (canónica) en un círculo con radio r; después definiremos
las funciones trigonométricas en términos de las coordenadas del punto P(x, y) donde
el lado terminal del ángulo interseca el círculo (figura 1.68).
seno: sen u = cosecante:
y
r
coseno: secante:
tangente: tan u = cotangente:
y
cos u =
x
x r
Estas definiciones ampliadas coinciden con las definiciones del triángulo rectángulo
cuando el ángulo es agudo (figura 1.69).
Tenga en cuenta también las definiciones siguientes, siempre que los cocientes estén
definidos.
Como puede ver, tan u y sec u no están definidas si x = 0. Esto significa que no están definidas
si u es ;p>2, ;3p>2, Á . De forma análoga, cot u y csc u no están definidos para
valores de u para los que y = 0, es decir, u = 0, ;p, ;2p, Á .
Los valores exactos de estas razones trigonométricas para algunos ángulos pueden deducirse
de los triángulos de la figura 1.64. Por ejemplo,
La regla TOSE TACO (figura 1.70) es útil para recordar cuáles de las funciones trigonométricas
son positivas o negativas. Por ejemplo, en el triángulo en la figura 1.71
vemos que
sen 2p
3
sen p
4
cos p
4
tan p
4
= 1
22
= 1
22
= 1
tan u =
sec u =
sen u
cos u
1
cos u
sen p
6
cos p
6
p
tan
6
23 2p
= , cos
2
= 23
2
= 1
23
3 =-1
2
, tan 2p
3
sen p
3
cos p
3
tan p
3
= 23
2
= 23
= -23.
Usando un método similar, determinamos los valores de sen u, cos u, y tan u que se muestran
en la tabla 1.4.
= 1
2
cot u =
csc u =
1
tan u
csc u = r y
sec u = r x
cot u = x y
1
sen u
= 1
2