Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

464 Capítulo 6: Aplicaciones de las integrales definidas
Aproximadamente, ¿cuántos pies cúbicos de mercurio puede almacenar
en el tanque en cualquier momento?
49. El contenedor que se bosqueja en la figura siguiente, se llena con
dos líquidos que no se mezclan, de densidades w1 y w2. Determine
la fuerza del fluido sobre un lado de la placa cuadrada vertical
ABCD. Los puntos B y D se encuentran en la capa que divide los
líquidos, y el cuadrado mide 622 pies por lado.
62
A
B D
C
2
Líquido 1:
densidad w 1
Líquido 2:
densidad w 2
50. La placa con forma de trapecio isósceles que se muestra a continuación,
se sumerge verticalmente en agua (w = 62.4) con su lado
Capítulo 6 Ejercicios adicionales y avanzados
Volumen y longitud
1. Se genera un sólido haciendo girar, alrededor del eje x, la región
acotada por la gráfica de la función continua positiva y = f(x), el
eje x y la recta fija x = a, y la recta variable x = b, b 7 a. Su volumen,
para toda b, es b 2 – ab. Determine f(x).
2. Se genera un sólido haciendo girar, alrededor del eje x, la región
acotada por la gráfica de la función continua positiva y = f(x),
el eje x y las rectas x = 0 y x = a. Su volumen, para toda a 7 0, es
a 2 + a. Determine f(x).
3. Suponga que la función creciente f(x) es suave para x Ú 0 y que
f (0) = a. Denote con s(x) la longitud de la gráfica de f desde (0, a)
hasta (x, f (x)), x 7 0. Determine f(x), si s(x) = Cx, para alguna
constante C. ¿Cuáles valores puede tomar C?
4. a. Demuestre que para 0 6 a … p>2,
a
21 + cos
L0
2 u du 7 2a2 + sen2 a.
b. Generalice el resultado del inciso (a).
Momentos y centros de masa
5. Determine el centroide de la región acotada por abajo por el eje x
y por arriba por la curva y = 1 – x n ; n es un entero positivo par.
¿Cuál es la posición límite del centroide, cuando n : q ?
6. Si transporta un poste telefónico en un remolque de dos ruedas
unido a la parte trasera de un camión, quiere que las ruedas estén
a 3 pies, aproximadamente, detrás del centro de masa del poste
para tener una distribución adecuada del peso. Los postes de clase
1 de 40 pies de NYNEX tienen una circunferencia en la parte superior
de 27 pulgadas, y una circunferencia de 43.5 pulgadas en la
superior a 4 pies por debajo de la superficie. Determine, de dos
formas diferentes, la fuerza del fluido sobre uno de los lados de la
placa:
a. Por medio de la evaluación de una integral.
b. Por medio de la división de la placa en un paralelogramo y un
triángulo isósceles, localizando sus centroides y utilizando la
ecuación F = whA de la sección 6.7.
6
Centroides
8
Medidas en pies
base. ¿Aproximadamente a qué distancia de la parte superior se
encuentra el centro de masa?
7. Suponga que una placa delgada de metal de área A y densidad
constante d, ocupa una región R en el plano xy y sea My el momento
de la placa respecto del eje y. Demuestre que el momento
de la placa respecto de la recta x = b es
a. si la placa está a la derecha de la recta, y
b. si la placa está a la izquierda de la recta.
8. Determine el centro de masa de una placa delgada que cubre la
región acotada por la curva y 2 = 4ax y la recta x = a, siendo a una
constante positiva, si la densidad en (x, y) es directamente proporcional
a (a) x, (b)
9. a. Determine el centroide de la región en el primer cuadrante,
acotada por dos circunferencias concéntricas y los ejes coordenados,
si las circunferencias tienen radios a y b, y
sus centros están en el origen.
b. Determine los límites de las coordenadas del centroide cuando
a se aproxima a b, y analice el significado del resultado.
10. Una esquina triangular se corta a partir de un cuadrado de 1 pie
por lado. El área del triángulo que se removió es de 36 pulgadas 2 My - bdA
bdA - My
ƒ y ƒ.
0 6 a 6 b,
.
Si el centroide de la región restante está a 7 pulgadas de un lado
del cuadrado original, ¿a qué distancia está de los otros lados?
Área de superficie
11. En los puntos de la curva y = 22x, se trazan segmentos de longitud
h = y, que son perpendiculares al plano xy. (Vea la figura siguiente.)
Determine el área de la superficie formada por estas
perpendiculares desde (0, 0) hasta s3, 223d.
6