Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

468 Capítulo 7: Funciones trascendentes
DEFINICIÓN Función inversa
Suponga que f es una función inyectiva en un dominio D con rango R. La función
inversa ƒ se define como
-1
El dominio de ƒ es R y su rango es D.
-1
Los dominios y rangos de f y están intercambiados. El símbolo para la inversa
de f se lee “inversa de f ”. El “–1” de no es un exponente: (x) no significa 1 ƒ(x).
Si aplicamos f para enviar un dato x al resultado f (x) y enseguida aplicamos a f (x),
obtenemos nuevamente x, justo donde iniciamos. De manera análoga, si tomamos algún
número y en el rango de f, le aplicamos y luego aplicamos f al valor resultante ƒ
obtenemos una vez más el valor y con el que iniciamos. Componer una función y su inversa
anula cualquier trabajo.
-1 ƒ syd,
-1
ƒ -1
ƒ >
-1
ƒ -1
ƒ -1
ƒ -1
sƒ -1 ƒdsxd = x, para toda x en el dominio de f
sƒ ƒ -1 dsyd = y, para toda y en el dominio de ƒ -1 so rango de ƒd
Sólo las funciones inyectivas pueden tener una inversa. La razón es que si y
para dos datos distintos x1 y x2, no existe forma de asignar un valor a que
satisfaga al mismo tiempo y
Una función que es creciente en un intervalo (aquella que satisface
cuando ) es inyectiva y tiene una inversa. Las funciones decrecientes también tienen
una inversa (ejercicio 39). Las funciones que tienen derivada positiva en toda x son
crecientes (vea el corolario 3 del Teorema del Valor Medio, en la sección 4.2) y, por lo
tanto, tienen inversa. De manera similar, las funciones con derivada negativa en toda x son
decrecientes y tienen inversa. Algunas funciones que no son crecientes ni decrecientes
pueden ser, no obstante, inyectivas y tener una inversa, como la función sec de la sección
7.7.
-1 ƒ
ƒsx2d 7 ƒsx1d
x2 7 x1
x
-1 ƒ sƒsx2dd = x2.
-1 ƒ
sƒsx1dd = x1
-1 ƒsx1d = y
ƒsx2d = y
syd
Determinación de la función inversa
ƒ -1 sad = b si ƒsbd = a.
Las gráficas de una función y su inversa están estrechamente relacionadas. Para conocer el
valor de una función (por ejemplo, de y) a partir de su gráfica, iniciamos con un punto x
en el eje x, vamos verticalmente a la gráfica y luego nos movemos horizontalmente hacia
el eje y. La función inversa puede conocerse a partir de la gráfica con sólo revertir este
proceso: iniciamos con un punto y en el eje y, vamos horizontalmente a la gráfica y luego
nos movemos de forma vertical al eje x para leer el valor de (figura 7.2).
Queremos graficar , de modo que su dominio esté en el eje x, como se hace comúnmente
en el caso de las funciones, en lugar de tenerlos en el eje y. Para realizar esto,
intercambiamos los ejes x y y reflejando con respecto de la recta de 45° y = x. Después
de esta reflexión tenemos una nueva gráfica que representa a . El valor de (x) puede
obtenerse ahora de la manera usual a partir de la gráfica, iniciando con un punto x en el
eje x, avanzando hacia la gráfica en sentido vertical y luego moviéndonos de forma horizontal
hacia el eje y para obtener el valor de (x). La figura 7.2 indica la relación entre
las gráficas de f y ƒ . Las gráficas se intercambian por medio de la reflexión con respecto
a la recta y = x.
-1
ƒ -1
ƒ -1
ƒ -1
ƒ -1
x = ƒ -1syd