Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

522 Capítulo 7: Funciones trascendentes
2
–
2
y
0
y tan –1 x
Dominio: (–∞, ∞)
Rango: (–/2, /2)
FIGURA 7.22 Gráfica de y = tan -1 x.
2
0
y
x
y cot –1 x
Dominio: (–∞, ∞)
Rango: (0, )
FIGURA 7.23 Gráfica de y = cot -1 x.
y sec
Dominio: x 1
Rango: [0, /2) (/2, ]
y
–1x –1
2
0 1
FIGURA 7.24 Gráfica de y = sec -1 x.
x
x
DEFINICIÓN Funciones arco tangente y arco cotangente
Utilizamos intervalos abiertos para evitar aquellos valores en donde la tangente o la cotangente
estén indefinidas.
La gráfica de y = tan –1 x es simétrica con respecto del origen, ya que es una rama de la
gráfica x = tan y, que es simétrica con respecto del origen (figura 7.22). Desde el punto de
vista algebraico, esto significa que
el arco tangente es una función impar. La gráfica de y = cot –1 x no tiene tal simetría (figura
7.23).
Las inversas de las restricciones de sec x y csc x se eligen para que resulten en las funciones
graficadas en las figuras 7.24 y 7.25.
PRECAUCIÓN No hay consenso acerca de cómo se debe definir para valores negativos
de x. Aquí se eligieron ángulos en el segundo cuadrante, entre y Con esta
elección y también se logra que sec –1 x sea una función creciente en
cada intervalo de su dominio. Para x 6 0, en algunas tablas se elige que sec –1 x tome valores
en y en algunos textos que los valores se tomen en (figura
7.26). Estas elecciones simplifican la fórmula para determinar la derivada (nuestra fórmula
necesita signos de valor absoluto), pero no se cumple la ecuación sec
Con base en ello, podemos deducir la identidad
-1 x = cos-1 sec
[-p, -p>2d
[p, 3p>2d
s1>xd.
-1 x = cos-1 sec
p>2 p.
s1>xd
-1 x
aplicando la ecuación (4).
y tan 1 x es el número s -p>2, p>2d para el que tan y = x.
y cot 1 x es el número s0, pd para el que cot y = x.
y csc
Dominio: x 1
Rango: [–/2, 0) (0, /2]
–1x
2
y
–1 0 1
–
2
FIGURA 7.25 Gráfica de
y = csc -1 x.
tan -1 s -xd = -tan -1 x;
sec-1 x = cos-1 a 1 p
x b =
2 - sen-1 a 1 x b
x
B
A
C
Dominio: x 1
Rango: 0 y , y
y
2
y sec –1 x
–1 0 1
–
3
2
2
–
2
–
x
3
2
FIGURA 7.26 Hay varias elecciones lógicas
para la rama izquierda de Con
la opción A, sec una
identidad útil que se emplea en muchas
calculadoras.
-1 x = cos-1 y = sec
s1>xd,
-1 x.
(5)