Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

12 Capítulo 1: Preliminares
6
5
4
3
2
1
0
y
A lo largo de esta recta,
x 2
A lo largo de esta recta,
y 3
(2, 3)
1 2 3 4
FIGURA 1.12 Las ecuaciones estándar
para las rectas vertical y horizontal que
pasan por (2, 3) son x = 2 y y = 3.
b
y
4
y
–2 0
–1
1 2 3
(–2, –1)
L
0 a
x
(3, 4)
y x 1
FIGURA 1.13 La recta del ejemplo 3.
FIGURA 1.14 La recta L tiene una
intersección xay una intersección yb.
x
x
La coordenada y del punto donde una recta no vertical interseca el eje y se llama ordenada
al origen de la recta. De forma similar, la abscisa al origen de una recta no horizontal
es la coordenada x del punto donde interseca el eje x (figura 1.14). Una recta con
pendiente m y ordenada al origen b en y pasa por el punto (0, b), tiene la ecuación
La ecuación
y = b + msx - 0d, o, simplemente, y = mx + b.
y = mx + b
se denomina ecuación pendiente-ordenada al origen de la recta con pendiente
m e intersección con el eje y, u ordenada al origen, b.
Las rectas con ecuaciones de la forma y = mx tienen intersección con el eje y 0 y, por lo
tanto, pasan por el origen. Las ecuaciones de esas rectas reciben el nombre de ecuaciones
lineales.
La ecuación
se conoce como ecuación general lineal en x y y, ya que su gráfica siempre representa
una recta y toda recta tiene una ecuación con esta forma (incluyendo las rectas con pendiente
indefinida).
EJEMPLO 4 Encontrar la pendiente y la ordenada al origen
Encontrar la pendiente y la ordenada al origen de la recta y 8x + 5y = 20.
Solución Se despeja y de la ecuación a fin de ponerla en la forma pendiente-ordenada al
origen:
La pendiente es m = -8>5. La ordenada y al origen es b = 4.
Rectas paralelas y perpendiculares
Ax + By = C sA o B distintas de cerod
8x + 5y = 20
5y = -8x + 20
y =- 8
x + 4.
5
Las rectas paralelas tienen el mismo ángulo de inclinación, de manera que tienen la misma
pendiente (si no son verticales). Recíprocamente, las rectas con pendientes iguales tienen
el mismo ángulo de inclinación y son, por lo tanto, paralelas.
Si dos rectas no verticales y son perpendiculares, sus pendientes y satisfacen
m1 de manera que cada pendiente es el recíproco negativo de la otra:
m2
L1 L2
m1 m2
= -1,
m1 =- 1 m2 , m2 =- 1 m1 .
Para comprobarlo, observe que, de acuerdo con los triángulos semejantes de la figura
1.15, y Por lo tanto, m1 m2 m1 = a>h, m2 = -h>a.
= sa>hds -h>ad = -1.