Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

14 Capítulo 1: Preliminares
k
Exterior: (x h) 2 (y k) 2 a2 y
En: (x h) 2 (y k) 2 a 2
(h, k)
Interior: (x h) 2 (y k) 2 a 2
0 h
FIGURA 1.18 El interior y el exterior del
círculo sx - hd 2 + s y - kd 2 = a 2 .
a
x
EJEMPLO 6
(a) La ecuación estándar del círculo de radio 2 y centro en (3, 4) es
(b) El círculo
tiene h = 1, k = -5, y a = 23. El centro es el punto sh, kd = s1, -5d y el radio es
a = 23.
Si la ecuación de un círculo no está en la forma estándar, para encontrar su centro y su
radio primero deberá convertirse la ecuación a dicha forma. La técnica algebraica para hacerlo
consiste en completar los cuadrados (vea el apéndice 9).
EJEMPLO 7 Encontrar el centro y el radio de un círculo
Encontrar el centro y el radio del círculo
Solución Convertimos la ecuación a la forma estándar, completando los cuadrados en x
y en y.
x 2 + y 2 + 4x - 6y - 3 = 0
sx 2 + 4x d + s y 2 - 6y d = 3
ax2 + 4x + a 4
2 b
2
b + ay 2 - 6y + a -6
2 b
2
b =
sx 2 + 4x + 4d + s y 2 - 6y + 9d = 3 + 4 + 9
sx + 2d 2 + s y - 3d 2 = 16
El centro es s -2, 3d y el radio es a = 4.
Los puntos (x, y) que satisfacen la desigualdad
forman la región interior del círculo con centro en (h, k) y radio a (figura 1.18). El exterior
del círculo consiste de los puntos (x, y) que satisfacen
Parábolas
sx - 3d 2 + s y - 4d 2 = 2 2 = 4.
sx - 1d 2 + s y + 5d 2 = 3
x 2 + y 2 + 4x - 6y - 3 = 0.
3 + a 4
2 b
2
+ a -6
2 b
2
sx - hd 2 + s y - kd 2 6 a 2
sx - hd 2 + s y - kd 2 7 a 2 .
Empezamos con la ecuación dada.
Agrupamos términos. Pasamos la
constante al lado derecho.
Sumamos el cuadrado de la mitad
del coeficiente de x en ambos
lados de la ecuación. Hacemos lo
mismo con y. Las expresiones que
están dentro de los paréntesis en
el lado izquierdo son ahora
cuadrados perfectos.
Factorizamos los trinomios cuadrados
perfectos, como binomios
cuadrados.
La definición geométrica y las propiedades generales de las parábolas se abordan en la
sección 10.1. Aquí hablaremos de las parábolas que surgen al graficar las ecuaciones de
la forma y = ax 2 + bx + c.