Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

332 Capítulo 5: Integración
1
calcular el área A que está debajo de la gráfica, y después dividir esta área entre la longitud
del intervalo p - 0 = p.
No tenemos una manera sencilla de determinar el área, de manera que la aproximamos
con sumas finitas. Para obtener la estimación de la suma superior, sumamos las áreas
de cuatro rectángulos del mismo ancho, p>4 que contienen en conjunto la región que está
debajo de la gráfica de y = sen x y arriba del eje x en [0, p]. Elegimos las alturas de los
rectángulos como el máximo valor de sen x en cada subintervalo. En un subintervalo en
particular este valor máximo puede alcanzarse en el extremo izquierdo, en el extremo derecho
o en algún punto entre ellos. Evaluamos sen x en este punto para obtener la altura
del rectángulo para una suma superior. Entonces, la suma de las áreas de los rectángulos
estima el área total (figura 5.7a):
Para estimar el valor promedio de sen x, dividimos el área estimada entre p y obtenemos
la aproximación 2.69>p L 0.86.
Si usamos ocho rectángulos del mismo ancho, p>8 todos por arriba de la gráfica de
y = sen x (figura 5.7b), obtenemos el área estimada
A L asen p
8
y
f(x) sen x
0
2
(a)
A L asen p
4 b # p
4
= a 1
22
+ sen p
4
1
+ 1 + 1 +
22 b # p
4 L s3.42d # p
4
+ sen 3p
8
p
+ asen
2 b # p
4
+ sen p
2
p
+ asen
2 b # p
4
+ sen p
2
+ sen 5p
8
3p
+ asen
4 b # p
4
L 2.69.
+ sen 3p
4
L s.38 + .71 + .92 + 1 + 1 + .92 + .71 + .38d # p
8 = s6.02d # p
8
x
7p
+ sen
8 b # p
8
L 2.365.
Dividiendo este resultado entre la longitud p del intervalo, obtenemos una estimación más
exacta de 0.753 para el promedio. Como usamos una suma superior para aproximar el
área, sigue siendo mayor que el valor promedio real de sen x en el intervalo [0, p]. Si usamos
cada vez más rectángulos, de manera que cada nuevo rectángulo sea más angosto, obtenemos
cada vez un valor promedio más cercano al real. Usando las técnicas de la sección
5.3, probaremos que el valor promedio real es 2>p L 0.64.
Como antes, podríamos también haber usado rectángulos que estuvieran debajo de la
gráfica de y = sen x para luego calcular la aproximación de la suma inferior, o podríamos
haber usado la regla del punto medio. En la sección 5.3 veremos que no importa si nuestros
rectángulos de aproximación se eligen para dar sumas superiores, sumas inferiores o
una suma intermedia. En cada caso, las aproximaciones están cercanas al área real si todos
los rectángulos son lo suficientemente angostos.
1
y
f(x) sen x
0
2
(b)
FIGURA 5.7 Aproximar el área debajo de ƒsxd = sen x
entre 0 y p para
calcular el valor promedio de sen x en [0, p], usando (a) cuatro rectángulos;
(b) ocho rectángulos (ejemplo 4).
x