Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

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484 Capítulo 7: Funciones trascendentes EJERCICIOS 7.2 Uso de las propiedades de los logaritmos Por último, sustituimos y: 1. Exprese los siguientes logaritmos en términos de ln 2 y ln 3. a. ln 0.75 b. ln (4 9) c. ln (1 2) d. ln2 e. ln 322 f. ln 213.5 3 > > 9 2. Exprese los siguientes logaritmos en términos de ln 5 y ln 7. a. ln (1> 125) b. ln 9.8 c. ln 727 d. ln 1225 e. ln 0.056 f. sln 35 + ln s1>7dd>sln 25d Utilice las propiedades de los logaritmos para simplificar las expresiones en los ejercicios 3 y 4. u 3. a. ln sen u - ln asen b. 5 b c. 4. a. b. c. 3 ln2 3 t 2 1 2 ln sec u + ln cos u ln s8x + 4d - 2 ln 2 - 1 - ln st + 1d ln s4t4d - ln 2 Derivadas de logaritmos En los ejercicios 5 a 36, determine la derivada de y respecto de x, t o u, según corresponda. 5. 6. 7. 8. y = ln st 3>2 y = ln st d 2 y = ln 3x y = ln kx, k constante d 9. 10. y = ln 10 y = ln x 3 x 11. 12. 13. 14. 15. y = tsln td 16. y = t2ln t 2 y = sln xd 3 y = ln x 3 y = ln su + 1d y = ln s2u + 2d 17. 18. y = 19. ln t y = t 20. 1 + ln t y = t 21. y = ln x 1 + ln x 22. y = x ln x 1 + ln x x3 y = x3 ln x - 3 9 x4 x4 ln x - 4 16 23. y = ln sln xd 24. y = ln sln sln xdd dy dx = sx2 + 1dsx + 3d1>2 x - 1 2x a x2 + 1 + 1 2x + 6 - 1 b . x - 1 Un cálculo directo mediante las reglas del cociente y el producto para resolver el ejemplo 6, sería bastante más largo. ln s3x 2 - 9xd + ln a 1 3x b 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. sx + 1d y = ln C 5 sx + 2d 20 y = ln a sx2 + 1d 5 21 - x b 2sen u cos u y = ln a 1 + 2 ln u b y = 1 + ln t y = 1 - ln t y = 2ln 1t y = ln ssec sln udd 1 y = ussen sln ud + cos sln udd y = ln ssec u + tan ud 1 y = ln x2x + 1 1 + x ln 2 1 - x 35. y = 36. y = Lx L 2 ln 2t dt >2 Integración Evalúe las integrales en los ejercicios 37 a 54. -2 x 2 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. p 2 cot Lp>2 52. p>12 6 tan 3x dx L0 53. dx L 21x + 2x sec x dx 54. L 2ln ssec x + tan xd u 3 du p>2 tan L0 p>2 cot t dt Lp>4 x 2 dx sec y tan y L 2 + sec y dy L 3 sec2 t 6 + 3 tan t dt 4 dx L2 xsln xd 16 dx L2 2x2ln x 2 4 L2 dx p>3 4 sen u L0 1 - 4 cos u 2 2 ln x x dx L1 x ln x du p sen t L0 2 - cos t dt 8r dr L 4r 2 2y dy L y - 5 2 L-3 3 dx L-1 3x - 2 - 25 dx x 0 2x 2 3 x ln t dt
Diferenciación logarítmica En los ejercicios 55 a 68, utilice la diferenciación logarítmica para determinar la derivada de y respecto de la variable independiente dada. 55. 56. y = 2sx2 + 1dsx - 1d2 y = 2xsx + 1d t 1 57. y = 58. y = A t + 1 A tst + 1d 59. y = 2u + 3 sen u 60. y = stan ud22u + 1 61. y = tst + 1dst + 2d 62. y = u + 5 u sen u 63. y = 64. y = u cos u 2sec u 65. y = 66. x2x2 + 1 sx + 1d 2>3 3 xsx - 2d 67. y = 68. B x 2 + 1 Teoría y aplicaciones 1 tst + 1dst + 2d sx + 1d y = C 10 s2x + 1d5 3 xsx + 1dsx - 2d y = Bsx 2 + 1ds2x + 3d 69. Localice e identifique los valores extremos absolutos de a. ln (cos x) en b. cos (ln x) en [1 2, 2]. 70. a. Demuestre que es creciente para b. Utilice el inciso (a) para demostrar que si 71. Determine el área entre las curvas y = ln x y y = ln 2x, de x = 1 a x = 5. 72. Determine el área entre la curva y = tan x y el eje x, de a 73. La región en el primer cuadrante, acotada por los ejes coordenados, la recta y = 3 y la curva se hace girar alrededor del eje y para generar un sólido. Determine el volumen del sólido. 74. La región entre la curva y el eje x, de a , se hace girar alrededor del eje x para generar un sólido. Determine el volumen del sólido. 75. La región entre la curva y el eje x, de a x = 2, se hace girar alrededor del eje y para generar un sólido. Determine el volumen del sólido. 76. En el ejercicio 6 de la sección 6.2, hicimos girar alrededor del eje y la región entre la curva y el eje x, de x = 0 a x = 3, para generar un sólido de volumen ¿Qué volumen obtendría si hiciéramos girar la región alrededor del eje x? (Consulte la gráfica en el ejercicio 6 de la sección 6.2). 77. Determine las longitudes de las curvas siguientes. a. b. x = sy>4d 78. Determine una curva que pase por el punto (1, 0), y cuya longitud entre x = 1 y x = 2 sea 2 y = sx - 2 ln sy>4d, 4 … y … 12 2 y = 9xN 2x 36p. >8d - ln x, 4 … x … 8 3 y = 1>x x = 1>2 + 9 2 [-p>4, p>3], > ƒsxd = x - ln x x 7 1. ln x 6 x x 7 1. x = -p>4 x = p>3. x = 2N 2y + 1 y = 2cot x x = p>6 x = p>2 7.2 Logaritmos naturales 485 b. Haga un bosquejo de la región y señale en él el centroide. 80. a. Determine el centro de masa de una placa delgada de densidad constante que cubre la región entre la curva y = 1> 1x y el eje x, de x = 1 a x = 16. b. Determine el centro de masa si, en lugar de ser constante, la densidad de la placa fuera dsxd = 4> 1x. En los ejercicios 81 y 82, resuelva los problemas con valor inicial. 81. 82. L = L dy dx = 1 + 1 x , ys1d = 3 d2 y dx2 = sec2 x, ys0d = 0 y y¿s0d = 1 83. Linealización de ln (1 + x) en x = 0 En lugar de aproximar ln x alrededor de x = 1, aproximamos ln (1 + x) alrededor de x = 0. De esta manera obtenemos una fórmula más sencilla. a. Deduzca la linealización de ln s1 + xd L x en x = 0. b. Estime, a cinco decimales, el error en que se incurre al reemplazar ln (1 + x) por x en el intervalo [0, 0.1]. c. Trace juntas la gráfica de ln s1 + xd y x para 0 … x … 0.5. Si es posible, utilice un color diferente para cada gráfica. ¿En qué puntos es mejor la aproximación de ln s1 + xd? ¿En cuá- les es menos buena? Por medio de la lectura directa de las coordenadas en las gráficas determine, con tanta precisión como le permita su calculadora graficadora, una cota superior para el error. 84. Utilice el argumento de tener la misma derivada, como se hizo para demostrar las reglas 1 y 4 del teorema 2, para probar la Regla del Cociente de los logaritmos. Exploraciones gráficas 2 1 A 1 1 + dx. 2 x T 79. a. Determine el centroide de la región entre la curva y = 1>x y el eje x, de x = 1 a x = 2. Proporcione las coordenadas redondeando a dos decimales. T 85. Grafique juntas ln x, ln 2x, ln 4x, ln 8x y ln 16x (o tantas de ellas como pueda) para 0 6 x … 10. ¿Qué sucede? Explique. 86. Grafique y = ln ƒ sen x ƒ en la ventana 0 … x … 22, -2 … y … 0. Explique lo que ve. ¿Cómo podría cambiar la fórmula para que los arcos queden invertidos? 87. a. Grafique juntas y = sen x y las curvas y = ln sa + sen xd para a = 2, 4, 8, 20 y 50 para 0 … x … 23. b. ¿Por qué las curvas se aplanan cuando a aumenta? (Sugerencia: Determine una cota superior para ƒ y¿ ƒ que dependa de a). 88. ¿Tiene la gráfica de y = 1x - ln x, x 7 0, un punto de inflexión? Trate de responder la pregunta (a) por medio de graficación, y (b) por medio de cálculo.
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THOMAS CÁLCULO UNA VARIABLE UNDÉC
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CÁLCULO UNA VARIABLE U N D É C I
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CONTENIDO Prefacio ix Volumen I 1 P
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PREGUNTAS DE REPASO 461 EJERCICIOS
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13 Funciones con valores vectoriale
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PREFACIO INTRODUCCIÓN Al preparar
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FIGURA 6.11, página 402 Determinac
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Agradecimientos COURSECOMPASS Cours
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Agradecemos a todos los profesores
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1.1 Capítulo 1 PRELIMINARES INTROD
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Las expansiones decimales finitas r
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-5 5 3 -5 0 3 4 1 1 4 3 1 4 FI
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1 2 (a) 1 2 (b) FIGURA 1.4 Los conj
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1.2 Eje y positivo Eje x negativo E
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6 L2 4 3 2 1 0 1 y y P 1 (0, 5) P 1
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y L 2 Pendiente m1 1 C 1 h L 1 Pend
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(-1, 1) 1 (1, 1) -2 (-2, 4) -1 4 y
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Incrementos y movimiento 37. Una pa
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96. La distancia entre un punto y u
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x -2 4 -1 1 0 0 1 1 3 2 y x 2 9 4
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TABLA 1.2 Datos del diapasón Tiemp
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1 y 3 2 1 y 2 1 1 2 3 1 2 0 1 2 y
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1 0 1 y 1 y log 3 x y log 2 x y
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ƒsxd = x + 1 Modelos matemáticos
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1.5 Combinación de funciones; tras
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1.5 Combinación de funciones; tras
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5 4 3 2 1 y dilatar comprimir y 3x
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EJERCICIOS 1.5 Sumas, restas, produ
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En los ejercicios 19-28 se establec
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SE sen pos. TA tan pos. y TO todos
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Periodos de las funciones trigonom
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Transformaciones de las gráficas t
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1.7 Graficación con calculadoras y
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-12 podría producir un segmento de
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Biomasa 250 200 150 100 50 y 0 1 2
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T T T c. Superponga la gráfica de
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31. Comenzando con la identidad sen
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Capítulo 1 Ejercicios adicionales
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2.1 Capítulo 2 LÍMITES Y CONTINUI
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Desde el punto de vista geométrico
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x 0 (a) Función identidad k 0 y y
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Es fácil convencernos de que las p
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Teoría y ejemplos 53. Si para x en
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L 1 10 L L 1 10 0 y y f(x) x 0 L
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k k k y 0 x0 x0 x0 y k FIG
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¿A qué se debe que sea correcto s
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58. a. Sea P=1>2. Demuestre que nin
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2 y y 4 x 2 0 2 FIGURA 2.23 lím
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1 O y u 1 cos u Q ⎧ ⎪ ⎪ ⎪
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4 3 2 1 y 1 x y 1 0 1 1 2 3 4 FIGU
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2 1 y 5 0 5 10 1 2 y 5x2 8x 3 3x
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4 2 4 2 2 4 y y 2x2 3 7x 4 FIGUR
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7. a. Grafique b. Encuentre y límx
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2.5 B y Límites infinitos y asínt
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B 0 y x 0 y f(x) x 0 d x 0 d FIG
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Asíntota vertical x 2 4 3 2 y 8 7
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2.5 Límites infinitos y asíntotas
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Creación de gráficas a partir de
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2 y y 4 x 2 2 0 2 FIGURA 2.52 Una
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0 y y 1 x FIGURA 2.56 La función
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0.4 0.3 0.2 0.1 2p p p 0 y 2p FIGUR
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3 2 1 0 y 1 2 3 4 FIGURA 2.61 La fu
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5. a. ¿ existe? b. ¿ existe? c.
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O P FIGURA 2.63 L es tangente al c
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0 y h y f(x) Q(x 0 h, f(x 0 h))
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Razones de cambio: derivada en un p
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No habiendo tangente vertical en x
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4. Suponga que f(x) y g(x) están d
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h (b) r 6 cm Volumen del líquido
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3.1 ENSAYO HISTÓRICO La derivada C
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Muchas veces es necesario conocer l
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Pendiente 0 A A' 10 5 B 4 unidades
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0 y y ⏐x⏐ y' -1 y' 1 y' no es
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1 0 y y U(x) FIGURA 3.7 La funció
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. Grafique la derivada de f. La gr
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EXPLORACIONES CON COMPUTADORA Use u
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(-1, 1) -1 1 y (0, 2) 0 1 y x 4 2
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3.3 La derivada como razón de camb
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Distancia (pies) 800 700 s 3.3 La d
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t (segundos) t 0 t 1 t 2 t 3 s
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c. Grafique la rapidez del cuerpo p
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1 y 0 1 1 y' 0 1 y cos x x y'
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3.4 Derivadas de funciones trigonom
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En los ejercicios 37 y 38, determin
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2 1 C: y vuelta B: u vuelta A: x vu
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La única falla en este razonamient
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sen n x significa ssen xd n , n Z -
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0 y t 1 (1, 1) Inicia en t 0 y x
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Encontrar d en términos de t 1. Ex
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EJERCICIOS 3.5 Cálculo de derivada
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Identifique la trayectoria de la pa
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112. (Continuación del ejercicio 1
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y y = 1 2 c-ƒsxd ; 2-3 a 3 x - C 3
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69. Normal que interseca ¿En qué
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Obser vador Globo d 0.14 rad/min d
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dy ? dt cuando y 6 pies dV dt 9
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y(t) y 0 14. Tránsito aéreo comer
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Automóvil Cámara 132' 33. Una cap
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Una aproximación lineal importante
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dr 0.1 a 10 A ≈ dA 2a dr FIGUR
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ferenciable de x. Con mayor precisi
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EJERCICIOS 3.8 Determinación de li
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Capítulo 3 Preguntas de repaso 1.
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66. a. Grafique la función b. ¿ f
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c. ¿Cómo se relaciona dS>dt con d
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. Encuentre los valores para b y c
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26. Regla de Leibniz para derivadas
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA Daniel Bernou
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Mínimo absoluto No hay un valor me
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-2 -1 (-2, -32) 7 -32 y (1, 7) y 8
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(c) Una solución intermedia 12 mil
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Extremos absolutos en intervalos ce
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y y x2 C C 2 2 1 0 -1 -2 C 1 C
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. Use el teorema de Rolle para prob
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Función decreciente y y x 2 Funci
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4.3 Funciones monótonas y el crite
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T Calculadora graficadora o computa
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y'' 0 -1 2 1 0 y y x 4 1 FIGURA 4
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4.4 Concavidad y trazado de curvas
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-1 1 Punto de inflexión donde x 3
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y¿ =sx - 1d 2 sx - 2d. ¿En qué p
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2r FIGURA 4.34 Esta lata de 1 litro
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA Willebrord Sn
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y c(x) x 3 6x 2 15x r(x) 9x 0 2
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38. Dos masas cuelgan de igual núm
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Precaución Para aplicar la regla d
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Control de la contaminación 19. Co
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EJEMPLO 2 Uso de diferentes valores
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cambiaría, así como el signo del
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En resumen, todas las sumas de Riem
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a 0 y a a y x b a FIGURA 5.13 El
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Uso de las propiedades y los valore
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78. Sumas superior e inferior para
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1 1 2 0 y y f(x) 1 2 El valor prom
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Antes de probar el teorema 4, veamo
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De acuerdo con el teorema del valor
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25 4 -3 -2 -1 0 1 2 y y 6 x x 2
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EJERCICIOS 5.4 Evaluaciones integra
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a. ¿Cuál es la velocidad de la pa
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5.5 Las integrales indefinidas y la
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La regla de sustitución proporcion
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1 1 2 y y sen 2 x 0 2 2 FIGURA 5
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6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. L a. Usando
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Demostración Sea F cualquier antid
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a y Curva superior y f(x) b Curva
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA Richard Dedek
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2 y y x (4, 2) 1 y x 2 2 Área
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36. 37. 38. (-3, 5) -3 (-3, -3) 39.
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88. Use una sustitución para proba
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13. ƒsxd = 5 - 5x 14. ƒsxd = 1 -
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86. Los paracaidistas A y B están
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Regla de Leibniz En las aplicacione
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Capítulo 5 Proyectos de aplicació
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0 y a S x k1 xk FIGURA 6.3 Una plac
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y 0 45° x -3 29 x 2 x 3 x ⎛ ⎝
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1 0 y 6.1 Cálculo de volúmenes po
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R(x) -x 3 R(x) -x 3 (-2, 5) r(x
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EJERCICIOS 6.1 Áreas de secciones
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15. Alrededor del eje y. 16. Alrede
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58. Tanque auxiliar de gasolina Con
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6.2 Cálculo de volúmenes por medi
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6.2 Cálculo de volúmenes por medi
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12. y = 3> A22xB, y = 0, x = 1, x =
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0 y A P 0 P 1 P k-1 C B P n FIGUR
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-1 1 0 -1 y x cos 3 t y sen 3 t 0
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1 0 y ⎛x y ⎝2 2/3 , 0 x 2
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T EJERCICIOS 6.3 Longitudes de curv
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(a) 6.4 Momentos y centro de masa 4
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Densidad La densidad de la materia
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0 y x y c.m. x x Línea de equilib
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Cómo determinar el centro de masa
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Page 455 and 456: 0 y y f(x) a P Q x k1 x k FIGURA 6
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Page 461 and 462: d y c 0 y L(y) FIGURA 6.54 La regi
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7.8 Funciones hiperbólicas 7.8 Fun
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7.8 Funciones hiperbólicas 537 Las
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TABLA 7.9 Identidades para las func
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7.8 Funciones hiperbólicas 541 Sol
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11. Utilice las identidades senh sx
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1 a y 0 b s 81. Volumen Una región
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5. ¿Qué es la función logaritmo
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99. ¿Verdadero o falso? Justifique
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17. Utilice la figura siguiente par
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8.1 Capítulo 8 TÉCNICAS DE INTEGR
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Solución EJEMPLO 2 Completar el cu
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA George David
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dx dx 7. 8. L 1x s 1x + 1d L x - 1x
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8.2 Integración por partes Como y
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tenemos cuatro posibles opciones: 1
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1 0.5 -1 0 -0.5 -1 y y xe -x 1 2 3
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Los ejercicios adicionales, al fina
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Sustitución e integración por par
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8.3 Integración de funciones racio
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Hay varias formas de resolver el si
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Sustituimos estos valores en la ecu
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EJEMPLO 7 Integración con el méto
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EJERCICIOS 8.3 8.3 Integración de
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c. Grafique la función y = para 0
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Para el término que incluye a cos
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EJERCICIOS 8.4 y Productos de senos
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x tan a -1 -1 -1 2 - 2 2 - 2
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5x 25x 2 4 2 FIGURA 8.6 Si entonc
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EJERCICIOS 8.5 Sustituciones trigon
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8.6 8.6 Tablas de integrales y sist
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Solución Utilizamos la fórmula 99
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Con n = 3 y a = 1, tenemos El resul
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También se puede hallar la integra
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Sustitución y tablas de integrales
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111. a. Utilice un software matemá
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y y x 2 1 0 1 25 16 5 4 36 16 6 4
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2 1 y y x sen x 0 1 2 FIGURA 8.12
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA Thomas Simpso
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gular no podemos determinar el valo
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146 pies 122 pies 76 pies 54 pies 4
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28. Abastecimiento de un estanque d
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Utilice las funciones Trace o Zoom
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Área de una superficie Determine,
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA Lejeune Diric
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1 0 y a y 1 x Área 2 2a 1 FIGUR
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Solución L2 q x + 3 sx - 1dsx 2 dx
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1 y y e -x2 (1, e -1 ) 0 1 b y e
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1 0 y y 1 1 x 2 1 y 1 x 2 FIGURA
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EJERCICIOS 8.8 Evaluación de integ
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T a. Dibuje la gráfica de f. Deter
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43. 44. L sen3 u cos2 u sen3 du u d
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Integrales impropias Evalúe las in
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T 24. Determinación de un volumen
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o ≠sxd L a x e b x 2p A x e 1>s12
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9.1 Campos de pendientes y ecuacion
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9.1 Campos de pendientes y ecuacion
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FIGURA 9.4 La razón a la que sale
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-4 -4 -4 19. y¿ =x + y 20. y¿ =y
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9.2 Ecuaciones diferenciales lineal
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9.2 Ecuaciones diferenciales lineal
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i I V R I e 0 L R L 2 R i (1 eRt
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EJERCICIOS 9.2 Ecuaciones lineales
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31. Constantes de tiempo Al número
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Después se calculan las aproximaci
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA Carl Runge (1
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Exploración gráfica de ecuaciones
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2 y 1 2 0 -1 y' 0 y'' 0 y' 0 y''
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F r ky m F p mg y positiva y 0 F
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EJERCICIOS 9.4 Líneas de fase y cu
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9.5 9.5 Aplicaciones de ecuaciones
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6000 5000 P Población mundial (198
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M 100 50 0 P FIGURA 9.25 Un campo
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Trayectoria ortogonal FIGURA 9.28 U
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TABLA 9.8 Datos del patinaje de Kel
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T 34. Euler: En los ejercicios 35 y
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RESPUESTAS CAPÍTULO 1 Sección 1.1
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7. (a) No es una función de x, ya
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9. (a) ƒ(g(x)) (b) j(g(x)) (c) g(g
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7. cos x = -4>5, tan x = -3>4 9. 11
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37. 39. 41. (a) (b) m = 1059.14; é
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11. (a) ƒsxd = sx 2 - 9d>sx + 3d x
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35. 37. 4 y = x = x + 1 - 2 - 4 3 x
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Ejercicios adicionales y avanzados,
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(c) El cuerpo cambia de dirección
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55. (a) y = 2px - 2p, (b) 57. Punto
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121. 123. dS = prh0 2r 125. (a) 4%
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La función ƒsxd = x tiene un punt
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17. y 19. 21. y 23. Máx loc (0, 0)
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91. (b) de manera positiva si k 6 0
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87. y = 2x 89. 3>2 - 50 91. 93. (a)
Page 733 and 734:
7. Todas ellas 9. b 11. 13. a k = 1
Page 735 and 736:
Ejercicios prácticos, páginas 388
Page 737 and 738:
Ejercicios de práctica, páginas 4
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13. 15. 17. 19. 21. 23. 25. 27. 29.
Page 741 and 742:
Capítulo 8: Respuestas R-39 ƒ ƒ
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Capítulo 8: Respuestas R-41 17. 19
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71. 1 2 Az2z2 + 1 + ln ƒ z + 2z 2
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3. 5. (b) (c) y¿ =y 3 - y = s y +
Page 749:
Ejercicios prácticos, páginas 682
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I-2 Índice Calculadoras, graficaci
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I-4 Índice Desplazamiento, 172, 17
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I-6 Índice implícitamente, 205-20
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I-8 Índice Leyes de los exponentes
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I-10 Índice Problema de primer ord
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I-12 Índice en integrales múltipl
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Fórmulas para Grad, Div, Espiral y
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Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

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