Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

4.6 Formas indeterminadas y la regla de L’Hôpital 295
Demostración de la forma fuerte de la regla de L’Hôpital Primero establecemos la
ecuación del límite para el caso El método casi no necesita cambios para aplicarlo
a x : a y la combinación de estos dos casos establece el resultado.
Supongamos que x está a la derecha de a. Entonces g¿sxd Z 0, y aplicamos el teorema
del valor medio de Cauchy al intervalo cerrado de a a x. Este paso produce un número
c entre a y x tal que
- x : a
,
+ .
Pero ƒsad = gsad = 0, así
Cuando x se aproxima a a, c se aproxima a a, ya que siempre está entre a y x. Por lo
tanto,
ƒsxd
lím+
x:a gsxd
ƒ¿scd
g¿scd
= ƒsxd - ƒsad
gsxd - gsad .
ƒ¿scd
g¿scd
= ƒsxd
gsxd .
ƒ¿scd
= lím+
c:a g¿scd
ƒ¿sxd
= lím+
x:a g¿sxd ,
que establece la regla de L’Hôpital para el caso donde x se aproxima a a por arriba. El caso
donde x se aproxima a a por abajo se obtiene al aplicar el teorema del valor medio de
Cauchy al intervalo cerrado [x, a], x 6 a.
Casi todas las funciones que se encuentran en el mundo real y en este libro satisfacen
las condiciones de la regla de L’Hôpital.
Uso de la regla de L’Hôpital
Para encontrar
lím
x:a ƒsxd
gsxd
mediante la regla de L’Hôpital, continúe derivando f y g tantas veces como sea
necesario mientras se siga obteniendo la forma 0>0 en x = a. Pero, en el momento
en que una u otra de estas derivadas sea distinta de cero en x = a , deje de
derivar. La regla de L’Hôpital no se aplica cuando el numerador o el denominador
tienen un límite finito distinto de cero.
EJEMPLO 3 Aplicación incorrecta de la forma fuerte de la regla de L’Hôpital
0
No es límite encontrado.
0 ;
Hasta aquí, la aplicación es correcta, pero si continuamos derivando en un intento de aplicar
la regla de L’Hôpital una vez más, obtenemos
1 - cos x
lím
x:0 x + x2 lím
x:0 1 - cos x
x + x 2
sen x
= lím
x:0 1 + 2x
= lím
x:0
sen x
1 + 2x
cos x
= lím
x:0 2
= 1
2 ,
que es incorrecto. La regla de L’Hôpital puede aplicarse solamente a límites que den formas
indeterminadas, y no es una forma indeterminada.
0>1
= 0
1
= 0
0
0