Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

0
y (dólares)
Pendiente
costo marginal
x
(toneladas/semana)
x h
y c(x)
FIGURA 3.18 Producción semanal de
acero; c(x) es el costo de producir x
toneladas por semana. El costo de producir
h toneladas adicionales es csx + hd - csxd.
y
0 x
x 1
x 1
⎧ ⎪⎨⎪
c
⎩
x
y c(x)
dc
dx
FIGURA 3.19 El costo marginal dc>dx
es
aproximadamente el costo extra ¢c de
producir ¢x = 1 unidad más.
x
La roca está a 256 pies sobre el suelo 2 segundos después de la explosión, y una vez
más 8 segundos después de la misma. Las velocidades de la roca en esos tiempos son
En ambos tiempos la rapidez de la roca es igual a 96 piesNseg. Como ys2d 7 0, la roca
se mueve hacia arriba (s está decreciendo) en t = 2 seg; en t = 8 se mueve hacia
abajo, ya que ys8d 6 0.
(c) En cualquier tiempo durante el vuelo que sigue a la explosión, la aceleración de la roca
es una constante
La aceleración siempre es hacia abajo. Conforme la roca sube se va frenando; cuando
cae, su rapidez aumenta.
(d) La roca choca contra el suelo en el tiempo positivo t para el que s = 0. La ecuación
160t – 16t 2 = 0 se factoriza en 16t(10 – t) = 0, de manera que sus soluciones son t = 0
y t = 10. La explosión ocurrió en t = 0 y la roca se lanzó hacia arriba para regresa al
suelo 10 segundos después.
Derivadas en economía
Los ingenieros usan los términos velocidad y aceleración para referirse a las derivadas de
las funciones que describen movimiento. Los economistas también tienen un término especial
para denominar las razones de cambio y las derivadas: los llaman marginales.
En una operación de manufactura, el costo de producción c(x) es una función de x, el
número de unidades producidas. El costo marginal de producción es la razón de cambio
del costo con respecto al nivel de producción, de manera que es dc>dx.
Supongamos que c(x) representa la cantidad de dinero necesaria para producir x toneladas
de acero en una semana. Producir x + h unidades por semana cuesta más, y la diferencia
entre los costos, dividida entre h, es el incremento promedio en costo de producir
cada tonelada por semana:
csx + hd - csxd
h
El límite de esta razón cuando h : 0 es el costo marginal de producir más acero por
semana cuando el nivel producción semanal es de x toneladas (figura 3.18).
dc
dx
ys2d = 160 - 32s2d = 160 - 64 = 96 pies>seg.
ys8d = 160 - 32s8d = 160 - 256 = -96 pies>seg.
a = dy
dt
= incremento promedio en el costo por tonelada por semana
para producir las siguientes h toneladas de acero.
csx + hd - csxd
= lím
h:0 h
= d
dt s160 - 32td = -32 pies>seg2 .
Algunas veces el costo marginal de producción ha sido definido, a grandes rasgos, como
el costo extra de producir una unidad:
¢c
¢x
3.3 La derivada como razón de cambio 177
= costo marginal de producción.
csx + 1d - csxd
= ,
1
que es aproximado mediante el valor de dc>dx en x. Esta aproximación es aceptable si la
pendiente de la gráfica en c no cambia rápidamente cerca de x. Entonces, el cociente de diferencias
está cerca de su límite dc>dx,
que es la elevación de la recta tangente si ¢x = 1
(figura 3.19). La aproximación funciona mejor para valores grandes de x.