Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

0
y
A P 0
P 1
P k–1
C
B P n
FIGURA 6.24 La curva C definida
paramétricamente por las ecuaciones
x = f(t), y = gstd, a … t … b. La longitud
de la curva de A a B se aproxima por la
suma de las longitudes de los segmentos de
recta de la trayectoria poligonal que inicia
en A = P0, luego va a P1, y así
sucesivamente, finalizando en B = Pn.
0
y
P 2
L k
∆xk Pk–1 ( f(tk–1 ), g(tk–1 ))
P k
x
P k ( f(t k ), g(t k ))
∆y k
FIGURA 6.25 El arco P k–1P k se aproxima
por el segmento de recta que se muestra
aquí, con una longitud
Lk = 2s¢xkd 2 + s¢ykd 2 .
x
6.3 Longitudes de curvas planas 417
n 4 n 8 n 16
FIGURA 6.23 Arquímedes utilizó los perímetros de polígonos inscritos
para aproximar el perímetro de una circunferencia. Para n = 96 el método de
aproximación da p L 3.14103 como el perímetro de una circunferencia
de radio uno.
longitud de una curva más general se muestra en la figura 6.24. A continuación describiremos
cómo funciona este método.
Longitud de una curva definida en forma paramétrica
Sea C una curva dada en forma paramétrica por medio de las ecuaciones
x = ƒstd y y = gstd, a … t … b.
Suponemos que las funciones f y g tienen derivadas continuas en el intervalo [a, b], cuyo
valor no es igual a cero simultáneamente. Se dice que tales funciones son continuamente
diferenciables y a la curva C definida por ellas se le denomina curva suave. Puede ser
útil imaginar la curva como la trayectoria de una partícula que se mueve del punto
en el instante , al punto como se ilustra en la figura
6.24. Subdividimos la trayectoria (o arco) AB en n partes en los puntos
Estos puntos corresponden a una partición del intervalo [a, b] por medio
de a = t0 6 t1 6 t2 6 en donde Pk = sƒstkd, gstkdd. Después, unimos los
puntos sucesivos de esta subdivisión mediante segmentos de recta (figura 6.24). Un segmento
representativo tiene longitud
Á A = sƒsad, gsadd
t = a B = sƒsbd, gsbdd
A = P0, P1,
P2, Á , Pn = B.
6 tn = b,
Lk = 2s¢xkd 2 + s¢ykd 2
= 2[ƒstkd - ƒstk - 1d] 2 + [gstkd - gstk - 1d] 2
(vea la figura 6.25). Si ∆tk es pequeña, la longitud Lk es aproximadamente igual a la longitud
del arco Pk–1Pk. De acuerdo con el teorema del valor medio, existen números y tk
en [tk - 1, tk] tales que
**
tk *
¢xk = ƒstkd - ƒstk - 1d = ƒ¿stk * d ¢tk,
¢yk = gstkd - gstk - 1d = g¿stk ** d ¢tk.
Suponiendo que la trayectoria de A a B se recorre exactamente una vez cuando t aumenta
de t = a a t = b, sin invertir la dirección del movimiento ni pasar dos veces por el mismo
punto, un cálculo intuitivo de la “longitud” de la curva AB es igual a la suma de todas las
longitudes Lk:
n
a Lk = a 2s¢xkd 2 + s¢ykd 2
k = 1
n
k = 1
n
= a 2[ƒ¿stk
k = 1
* d] 2 + [g¿stk ** d] 2 ¢tk.