Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

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640 Capítulo 8: Técnicas de integración Tomamos los productos con su signo, unidos por las flechas diagonales, y una integral con su signo para la última flecha horizontal. Al transponer la integral de la derecha al lado izquierdo se obtiene o bien 5 L e2x cos x dx = e 2x sen x + 2e 2x cos x L e2x cos x dx = e2x sen x + 2e 2x cos x 5 después de dividir entre 5 y sumar la constante de integración. Utilice la integración tabular para evaluar las integrales en los ejercicios 41 a 48. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. L x2 L ln saxd dx L ln saxd dx eax L cos bx dx eax L sen 3x sen x dx L cos 5x sen 4x dx L sen bx dx e3x L sen 4x dx e2x cos 3x dx La función gama y la fórmula de Stirling La función gama de Euler ≠sxd (“gama de x”; ≠ es la g griega mayúscula) utiliza una integral para ampliar la función factorial de los enteros no negativos a otros valores reales. La fórmula es ≠sxd = L0 q t x - 1e -t dt, x 7 0. Para cada x positiva, el número ≠sxd es la integral de respecto de t, de 0 a q. La figura 8.27 muestra la gráfica de ≠ cerca del origen. Verá cómo calcular ≠s1>2d si hace el ejercicio adicional 31 del capítulo 15. 49. Si n es un entero no negativo, ≠sn + 1d = n! a. Demuestre que ≠s1d = 1. b. Después aplique integración por partes a la integral para ≠sx + 1d para demostrar que ≠sx + 1d = x≠sxd. ≠s2d = 1≠s1d = 1 ≠s3d = 2≠s2d = 2 ≠s4d = 3≠s3d = 6 o ≠sn + 1d = n ≠snd = n! (1) c. Utilice inducción matemática para verificar la ecuación (1) para todo entero no negativo n. 50. Fórmula de Stirling El matemático escocés James Stirling (1692-1770) demostró que lím x: q ae x b x x ≠sxd = 1, A 2p + C, t x - 1 e -t –3 de manera que, para x grande, ≠sxd = a x e b x 2p A x s1 +Psxdd, Psxd : 0 cuando x : q . Al despreciar Psxd llegamos a la aproximación 3 2 1 y –2 –1 0 1 2 3 –1 –2 –3 ≠sxd L a x e b x 2p A x (fórmula de Stirling). a. Aproximación de Stirling para n! Utilice la ecuación (3) y el hecho de que n! = n≠snd para demostrar que n! L a n e b n 22np (fórmula de Stirling). Como verá si resuelve el ejercicio 64 de la sección 11.1, la ecuación lleva a la aproximación 2 n n! L n e . y (x) FIGURA 8.27 La función gama de Euler, ≠sxd es una función continua de x, cuyo valor en cada entero positivo n + 1 es n! La fórmula por medio de una integral definida para ≠ es válida sólo para x 7 0, pero ≠ puede extenderse a valores negativos no enteros de x con la fórmula ≠sxd = s≠sx + 1dd>x, que es tema del ejercicio 49. T b. Compare el valor que da su calculadora para n! con el valor dado por la aproximación de Stirling para n = 10, 20, 30, Á , y así sucesivamente hasta alcanzar la capacidad de su calculadora. T c. Un refinamiento de la ecuación (2) da ≠sxd = a x e b x 2p A x e 1>s12xd s1 +Psxdd, x (2) (3) (4) (5)
o ≠sxd L a x e b x 2p A x e 1>s12xd lo cual nos dice que n! L a n e b n 22np e 1>s12nd . Compare los valores dados para 10! por su calculadora, por la aproximación de Stirling y por la ecuación (6). Capítulo 8 Proyectos de aplicación tecnológica (6) Capítulo 8 Proyectos de aplicación tecnológica 641 Módulo Mathematica/Maple Aproximaciones de Riemann, trapecios y Simpson Parte I: Visualice el error en que se incurre al usar sumas de Riemann para aproximar el área debajo de una curva. Parte II: Construya una tabla de valores y calcule la magnitud relativa del error como una función del tamaño del paso x. Parte III: Investigue el efecto de la función derivada sobre el error. Partes IV y V: Aproximaciones por medio de trapecios. Parte VI: Aproximaciones por medio de la regla de Simpson. Módulo Mathematica/Maple Juegos de elección: Exploración de la técnica probabilística Monte Carlo para integración numérica Explore graficamente el método Monte Carlo para aproximar integrales definidas. Módulo Mathematica/Maple Cálculo de probabilidades con integrales impropias Explore, de forma gráfica, el método Monte Carlo para aproximar integrales definidas.
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THOMAS CÁLCULO UNA VARIABLE UNDÉC
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CÁLCULO UNA VARIABLE U N D É C I
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CONTENIDO Prefacio ix Volumen I 1 P
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PREGUNTAS DE REPASO 461 EJERCICIOS
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13 Funciones con valores vectoriale
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PREFACIO INTRODUCCIÓN Al preparar
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FIGURA 6.11, página 402 Determinac
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Agradecimientos COURSECOMPASS Cours
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Agradecemos a todos los profesores
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1.1 Capítulo 1 PRELIMINARES INTROD
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Las expansiones decimales finitas r
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-5 5 3 -5 0 3 4 1 1 4 3 1 4 FI
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1 2 (a) 1 2 (b) FIGURA 1.4 Los conj
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1.2 Eje y positivo Eje x negativo E
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y L 2 Pendiente m1 1 C 1 h L 1 Pend
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Incrementos y movimiento 37. Una pa
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96. La distancia entre un punto y u
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x -2 4 -1 1 0 0 1 1 3 2 y x 2 9 4
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TABLA 1.2 Datos del diapasón Tiemp
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ƒsxd = x + 1 Modelos matemáticos
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1.5 Combinación de funciones; tras
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EJERCICIOS 1.5 Sumas, restas, produ
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En los ejercicios 19-28 se establec
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2 Grados Radianes 45 45 90 1 30 1 2
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SE sen pos. TA tan pos. y TO todos
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Periodos de las funciones trigonom
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Transformaciones de las gráficas t
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1.7 Graficación con calculadoras y
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-12 podría producir un segmento de
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Biomasa 250 200 150 100 50 y 0 1 2
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T T T c. Superponga la gráfica de
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31. Comenzando con la identidad sen
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Capítulo 1 Ejercicios adicionales
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2.1 Capítulo 2 LÍMITES Y CONTINUI
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0 y P(x 1 , f(x 1 )) x 1 Secante Q(
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Desde el punto de vista geométrico
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x 0 (a) Función identidad k 0 y y
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20. Sea ƒsxd = s3 a. Haga una tabl
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Es fácil convencernos de que las p
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2 3 0 3 2 0 y (a) y (b) y (1, 3) x
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Teoría y ejemplos 53. Si para x en
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L 1 10 L L 1 10 0 y y f(x) x 0 L
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k k k y 0 x0 x0 x0 y k FIG
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¿A qué se debe que sea correcto s
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13. 14. Determinación algebraica d
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58. a. Sea P=1>2. Demuestre que nin
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2 y y 4 x 2 0 2 FIGURA 2.23 lím
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1 O y u 1 cos u Q ⎧ ⎪ ⎪ ⎪
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4 3 2 1 y 1 x y 1 0 1 1 2 3 4 FIGU
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2 1 y 5 0 5 10 1 2 y 5x2 8x 3 3x
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4 2 4 2 2 4 y y 2x2 3 7x 4 FIGUR
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7. a. Grafique b. Encuentre y límx
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2.5 B y Límites infinitos y asínt
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B 0 y x 0 y f(x) x 0 d x 0 d FIG
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Asíntota vertical x 2 4 3 2 y 8 7
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2.5 Límites infinitos y asíntotas
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Creación de gráficas a partir de
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2 y y 4 x 2 2 0 2 FIGURA 2.52 Una
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0 y y 1 x FIGURA 2.56 La función
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0.4 0.3 0.2 0.1 2p p p 0 y 2p FIGUR
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3 2 1 0 y 1 2 3 4 FIGURA 2.61 La fu
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5. a. ¿ existe? b. ¿ existe? c.
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O P FIGURA 2.63 L es tangente al c
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0 y h y f(x) Q(x 0 h, f(x 0 h))
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Razones de cambio: derivada en un p
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No habiendo tangente vertical en x
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4. Suponga que f(x) y g(x) están d
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h (b) r 6 cm Volumen del líquido
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3.1 ENSAYO HISTÓRICO La derivada C
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Muchas veces es necesario conocer l
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Pendiente 0 A A' 10 5 B 4 unidades
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0 y y ⏐x⏐ y' -1 y' 1 y' no es
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1 0 y y U(x) FIGURA 3.7 La funció
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. Grafique la derivada de f. La gr
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EXPLORACIONES CON COMPUTADORA Use u
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tenemos EJEMPLO 9 Dos métodos para
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3.3 La derivada como razón de camb
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Distancia (pies) 800 700 s 3.3 La d
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t (segundos) t 0 t 1 t 2 t 3 s
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0 y (dólares) Pendiente costo marg
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EJERCICIOS 3.3 Sensibilidad al camb
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c. Grafique la rapidez del cuerpo p
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1 y 0 1 1 y' 0 1 y cos x x y'
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3.4 Derivadas de funciones trigonom
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En los ejercicios 37 y 38, determin
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2 1 C: y vuelta B: u vuelta A: x vu
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La única falla en este razonamient
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sen n x significa ssen xd n , n Z -
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0 y t 1 (1, 1) Inicia en t 0 y x
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Encontrar d en términos de t 1. Ex
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EJERCICIOS 3.5 Cálculo de derivada
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Identifique la trayectoria de la pa
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112. (Continuación del ejercicio 1
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y y = 1 2 c-ƒsxd ; 2-3 a 3 x - C 3
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EJERCICIOS 3.6 Derivadas de potenci
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69. Normal que interseca ¿En qué
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Obser vador Globo d 0.14 rad/min d
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dy ? dt cuando y 6 pies dV dt 9
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y(t) y 0 14. Tránsito aéreo comer
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Automóvil Cámara 132' 33. Una cap
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Una aproximación lineal importante
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dr 0.1 a 10 A ≈ dA 2a dr FIGUR
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ferenciable de x. Con mayor precisi
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EJERCICIOS 3.8 Determinación de li
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0.5 pulg. 6 pulg. 30 pulg. 46. Esti
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Capítulo 3 Preguntas de repaso 1.
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66. a. Grafique la función b. ¿ f
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c. ¿Cómo se relaciona dS>dt con d
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. Encuentre los valores para b y c
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26. Regla de Leibniz para derivadas
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA Daniel Bernou
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Mínimo absoluto No hay un valor me
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(c) Una solución intermedia 12 mil
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Extremos absolutos en intervalos ce
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T T 70. Funciones sin valores extre
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y y x2 C C 2 2 1 0 -1 -2 C 1 C
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. Use el teorema de Rolle para prob
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Función decreciente y y x 2 Funci
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4.3 Funciones monótonas y el crite
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T Calculadora graficadora o computa
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y'' 0 -1 2 1 0 y y x 4 1 FIGURA 4
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4.4 Concavidad y trazado de curvas
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-1 1 Punto de inflexión donde x 3
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38. Dos masas cuelgan de igual núm
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Teoría y ejemplos 53. Una desigual
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Precaución Para aplicar la regla d
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0 y x 0 (x n , f(x n )) FIGURA 4.49
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4. Encuentre los valores de a y b t
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Tanque lleno, parte superior h y 0
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Control de la contaminación 19. Co
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EJEMPLO 2 Uso de diferentes valores
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Exprese las sumas de los ejercicios
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Cuando se satisface la definición,
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cambiaría, así como el signo del
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a 0 y a a y x b a FIGURA 5.13 El
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78. Sumas superior e inferior para
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5.5 Las integrales indefinidas y la
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La regla de sustitución proporcion
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Demostración Sea F cualquier antid
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA Richard Dedek
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Regla de Leibniz En las aplicacione
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6.2 Cálculo de volúmenes por medi
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1 0 y ⎛x y ⎝2 2/3 , 0 x 2
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T EJERCICIOS 6.3 Longitudes de curv
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(a) 6.4 Momentos y centro de masa 4
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Densidad La densidad de la materia
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Cómo determinar el centro de masa
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1 8 0 - 1 8 y y x 3 NO ESTÁ A ESC
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d y c 0 y L(y) FIGURA 6.54 La regi
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Determinación de áreas de superfi
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c. Demuestre que el área de la sup
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Fuerza (lb) F 0 Sin comprimir 4 F x
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389 pies Cuarto de circunferencia d
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9. Ascensión del cable de un eleva
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28. Golf Una pelota de golf de 1.6
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y a y Superficie del fluido Placa v
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EJERCICIOS 6.7 En los ejercicios si
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a. Determine la fuerza del fluido c
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27. Determine el centroide de una p
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0 12. En los puntos de la circunfer
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7.1 Funciones inversas y sus deriva
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El proceso de pasar de f a f -1 pue
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y y f(x) b f(a) (a, b) 0 a x 7.1
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EJERCICIOS 7.1 Identificación grá
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Teoría y aplicaciones 45. Si f(x)
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TABLA 7.1 Valores comunes de ln x,
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA John Napier (
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1 y 1 2 0 y 1 x 1 2 FIGURA 7.10 El
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EJEMPLO 5 L0 p>6 tan 2x dx = L0 Dif
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Diferenciación logarítmica En los
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Números trascendentes y funciones
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7.3 La función exponencial 489 El
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Utilizamos la condición inicial y(
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EJERCICIOS 7.3 7.3 La función expo
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. Demuestre, haciendo referencia a
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y 2 1 0 1 2 y 2 x y x y log 2x F
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Casi todos los alimentos son ácido
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1 49. 50. 5 L -u 2 du L0 -u du 22 5
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7.5 Crecimiento y decaimiento expon
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Para el gas radón 222, t se mide e
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7.5 Crecimiento y decaimiento expon
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a. Si t representa el tiempo, en a
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22. Una viga a temperatura desconoc
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(c) x 2 crece más rápido que ln x
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EJERCICIOS 7.6 1. ¿Cuáles de las
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Algoritmos y búsquedas 23. a. Supo
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7.7 Funciones trigonométricas inve
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x 23>2 22>2 12 > -1>2 - 22>2 - 23>2
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x 23 1 23>3 - 23>3 -1 - 23 3 5 2 t
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7.7 Funciones trigonométricas inve
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EJEMPLO 9 Uso de la fórmula d dx s
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(b) (c) EJEMPLO 12 Uso de la sustit
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Valores de funciones trigonométric
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126. La región que está entre la
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7.8 Funciones hiperbólicas 7.8 Fun
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7.8 Funciones hiperbólicas 537 Las
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TABLA 7.9 Identidades para las func
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7.8 Funciones hiperbólicas 541 Sol
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11. Utilice las identidades senh sx
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1 a y 0 b s 81. Volumen Una región
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5. ¿Qué es la función logaritmo
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99. ¿Verdadero o falso? Justifique
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17. Utilice la figura siguiente par
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8.1 Capítulo 8 TÉCNICAS DE INTEGR
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Solución EJEMPLO 2 Completar el cu
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA George David
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dx dx 7. 8. L 1x s 1x + 1d L x - 1x
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8.2 Integración por partes Como y
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tenemos cuatro posibles opciones: 1
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1 0.5 -1 0 -0.5 -1 y y xe -x 1 2 3
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Los ejercicios adicionales, al fina
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Sustitución e integración por par
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8.3 Integración de funciones racio
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Hay varias formas de resolver el si
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Sustituimos estos valores en la ecu
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EJEMPLO 7 Integración con el méto
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EJERCICIOS 8.3 8.3 Integración de
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c. Grafique la función y = para 0
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Para el término que incluye a cos
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EJERCICIOS 8.4 y Productos de senos
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x tan a -1 -1 -1 2 - 2 2 - 2
Page 607 and 608: 5x 25x 2 4 2 FIGURA 8.6 Si entonc
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Page 615 and 616: Con n = 3 y a = 1, tenemos El resul
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Page 625 and 626: 2 1 y y x sen x 0 1 2 FIGURA 8.12
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Page 629 and 630: gular no podemos determinar el valo
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Page 647 and 648: 1 0 y y 1 1 x 2 1 y 1 x 2 FIGURA
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Page 679 and 680: Después se calculan las aproximaci
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Page 695 and 696: M 100 50 0 P FIGURA 9.25 Un campo
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7. cos x = -4>5, tan x = -3>4 9. 11
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37. 39. 41. (a) (b) m = 1059.14; é
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11. (a) ƒsxd = sx 2 - 9d>sx + 3d x
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35. 37. 4 y = x = x + 1 - 2 - 4 3 x
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Ejercicios adicionales y avanzados,
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(c) El cuerpo cambia de dirección
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55. (a) y = 2px - 2p, (b) 57. Punto
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121. 123. dS = prh0 2r 125. (a) 4%
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La función ƒsxd = x tiene un punt
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17. y 19. 21. y 23. Máx loc (0, 0)
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91. (b) de manera positiva si k 6 0
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87. y = 2x 89. 3>2 - 50 91. 93. (a)
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7. Todas ellas 9. b 11. 13. a k = 1
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Ejercicios prácticos, páginas 388
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Ejercicios de práctica, páginas 4
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13. 15. 17. 19. 21. 23. 25. 27. 29.
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Capítulo 8: Respuestas R-39 ƒ ƒ
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Capítulo 8: Respuestas R-41 17. 19
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71. 1 2 Az2z2 + 1 + ln ƒ z + 2z 2
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3. 5. (b) (c) y¿ =y 3 - y = s y +
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Ejercicios prácticos, páginas 682
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I-2 Índice Calculadoras, graficaci
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I-4 Índice Desplazamiento, 172, 17
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I-6 Índice implícitamente, 205-20
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I-8 Índice Leyes de los exponentes
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I-10 Índice Problema de primer ord
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I-12 Índice en integrales múltipl
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Fórmulas para Grad, Div, Espiral y
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Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

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