Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

96 Capítulo 2: Límites y continuidad
4
4
4
0
y
y x 2
(2, 4)
(2, 1)
2
4 4
FIGURA 2.20 Un intervalo que contiene
x = 2, de manera que la función del
ejemplo 5 satisface ƒ ƒsxd - 4 ƒ 6P.
x
Cómo encontrar D algebraicamente para f, L, x0 y P>0 dados
El proceso para encontrar una d > 0 tal que para toda x
puede llevarse a cabo en dos pasos.
1. Resolver la desigualdad ƒ ƒsxd - L ƒ 6Ppara
encontrar un intervalo abierto
(a, b) que contenga a x0 en el que la desigualdad se satisfaga para toda x Z x0.
2. Encontrar un valor de d 7 0 que coloque el intervalo abierto
sx0 - d, x0 + dd centrado en x0 dentro del intervalo (a, b). La desigualdad
ƒ ƒsxd - L ƒ 6Pse
cumplirá para toda x Z x0 en este d intervalo.
EJEMPLO 5 Determinación algebraica de delta
Probar que límx:2 ƒsxd = 4 si
Solución Nuestra tarea consiste en probar que dado P > 0, existe una d > 0 tal que para
toda x
1. Resolver la desigualdad ƒ ƒsxd - 4 ƒ 6Ppara
encontrar un intervalo abierto que
contenga a x0 = 2 en el que la desigualdad se satisfaga para toda x Z x0.
Para x Z x 0 = 2, tenemos que f(x) = x 2 , y la desigualdad a resolver es |x 2 – 4| < P:
La desigualdad ƒ ƒsxd - 4 ƒ 6Pse
satisface para toda x Z 2 en el intervalo abierto
A 24 -P, 24 +PB (figura 2.20).
2. Encontrar un valor de d > 0 que coloque el intervalo centrado (2 – d, 2 + d dentro del
intervalo A 24 -P, 24 +PB.
Sea d la distancia de entre x0 = 2 y el extremo más cercano de A 24 -P, 24 +PB .
En otras palabras, tomamos d = mín E2 - 24 -P, 24 +P- 2F , es decir, el mínimo
(el más pequeño) de los dos números 2 - 24 -Py
24 +P- 2. Son d tiene éste o
cualquier valor menor positivo, la desigualdad 0 6 ƒ x - 2 ƒ 6 d colocará automáticamente
a x entre 24 -Py
24 +Ppara
hacer que ƒ ƒsxd - 4 ƒ 6P. Para toda x,
Esto completa la prueba.
0 6 ƒ x - x0 ƒ 6 d Q ƒƒsxd - L ƒ 6P
ƒsxd = e x2 , x Z 2
1, x = 2.
0 6 ƒ x - 2 ƒ 6 d Q ƒƒsxd - 4 ƒ 6P.
ƒ x 2 - 4 ƒ 6P
-P 6 x 2 - 4 6P
4 -P6x 2 6 4 +P
24 -P6 ƒ x ƒ 6 24 +P
24 -P6 x 6 24 +P.
0 6 ƒ x - 2 ƒ 6 d Q ƒƒsxd - 4 ƒ 6P.
Suponga que P < 4; vea abajo.
Un intervalo abierto alrededor
de x 0 = 2 que resuelve la
desigualdad