Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

226 Capítulo 3: Derivadas
El cambio correspondiente en la recta tangente L es
Esto es, el cambio en la linealización de f es precisamente el valor de la diferencial dy
cuando x = a y dx =¢x. En consecuencia, dy representa la magnitud que la recta tangente
sube o baja cuando x cambia en una cantidad dx =¢x.
Si dx Z 0, entonces el cociente de la diferencial dy entre la diferencial dx es igual a la
derivada ƒ¿sxd,
ya que
Algunas veces escribimos
y
(a, f(a))
Recta
tangente
0 a
en lugar de llamando a df la diferencial de f. Por ejemplo, si f(x) =
3x entonces
2 dy = ƒ¿sxd dx,
- 6,
Toda fórmula de diferenciación, como
dsu + yd
dx
dy , dx =
= du
dx
dx x
= ƒ¿(a) dx.
y f(x)
a dx
¢L = L(a + dx) - L(a)
= ƒ(a) + ƒ¿(a)[(a + dx) - a] - ƒ(a)
(++++++)++++++*
L(a dx)
ƒ¿sxd dx
dx
df = ƒ¿sxd dx
df = ds3x 2 - 6d = 6x dx.
+ dy
dx o
L f'(a)dx
tiene una forma diferencial correspondiente, como
y f(a dx) f(a)
Cuando dx es un cambio pequeño
en x, el cambio correspondiente en la
linealización es precisamente dy.
FIGURA 3.51 Geométricamente, la diferencial dy es el cambio
¢L
en la linealización de f cuando x = a cambia por una
cantidad dx =¢x.
= ƒ¿sxd = dy
dx .
dssen ud
dx
()*
L(a)
= cos u du
dx
dsu + yd = du + dy o dssen ud = cos u du.
x