Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

BIOGRAFÍA HISTÓRICA
Thomas Simpson
(1720-1761)
por lo que el área debajo de ella, de x = -ha
x = h es
Como la curva pasa por los tres puntos, (–h, y 0), (0, y 1) y (h, y 2), también tenemos
de lo cual obtenemos
De aquí que, expresando el área A p en términos de las ordenadas y 0, y 1 y y 2, tenemos
Ahora bien, si desplazamos la parábola de manera horizontal a su posición sombreada en
la figura 8.14, el área debajo de ella no cambia. Así, el área debajo de la parábola que pasa
por (x 0, y 0), (x 1, y 1) y (x 2, y 2) en la figura 8.14 sigue siendo
De forma similar, el área debajo de la parábola que pasa por los puntos sx2, y2d, sx3, y3d y
sx4, y4d es
Calculando las áreas bajo todas las parábolas y sumando los resultados se obtiene la aproximación
La
b
Ap = L
h
-h
= Ax3
3
= 2Ah3
3
sAx 2 + Bx + Cd dx
Bx2
+
2 + Cx d h
-h
+ 2Ch = h
3 s2Ah2 + 6Cd.
y0 = Ah 2 - Bh + C, y1 = C, y2 = Ah 2 + Bh + C,
C = y1,
Ah 2 - Bh = y0 - y1,
Ah 2 + Bh = y2 - y1,
2Ah 2 = y0 + y2 - 2y1.
Ap = h
3 s2Ah2 + 6Cd = h
3 ssy0 + y2 - 2y1d + 6y1d = h
3 s y0 + 4y1 + y2d.
h
3 s y0 + 4y1 + y2d.
h
3 s y2 + 4y3 + y4d.
ƒsxd dx L h
3 s y0 + 4y1 + y2d + h
3 s y2 + 4y3 + y4d + Á
+ h
3 s yn - 2 + 4yn - 1 + ynd
8.7 Integración numérica 609
= h
3 s y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + 2y4 + Á + 2yn - 2 + 4yn - 1 + ynd.
El resultado se conoce como regla de Simpson, y es válida para cualquier función continua
y = f (x) (ejercicio 38). La función no necesita ser positiva, como en nuestra deducción. El
número de subintervalos n debe ser par para aplicar la regla, ya que cada arco parabólico
utiliza dos subintervalos.