Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

0
y
A (0, 1)
x y 1
B (1, 0)
FIGURA 6.49 Al hacer girar el segmento
de recta AB alrededor del eje y se genera
un cono, cuya superficie lateral se puede
calcular de dos formas distintas (ejemplo 2).
x
Con estas sustituciones,
Rotación alrededor del eje y
6.5 Áreas de superficies de revolución y el teorema de Pappus 439
S =
L1
2
2p # 22x 2x + 1
2x
dx = 4p
L1
= 4p # 2
3 sx + 1d3>2 2
d =
1
8p
A323 - 222B .
3
Para rotaciones alrededor del eje y, intercambiamos x y y en la ecuación (3).
2
2x + 1 dx
Área superficial para rotaciones alrededor del eje y
Si x = gsyd Ú 0 es continuamente diferenciable en [c, d], el área de la superficie
generada al hacer girar la curva x = gsyd alrededor del eje y es
S =
Lc
d
2px 1 + a
B dx
dy b
2
dy =
Lc
d
2pgsyd21 + sg¿sydd 2 dy.
EJEMPLO 2 Determinación del área rotando alrededor del eje y
El segmento de recta x = 1 - y, 0 … y … 1, se hacer girar alrededor del eje y para generar
el cono de la figura 6.49. Determinar el área de su superficie lateral (la cual excluye el
área de la base).
Solución En este caso tenemos un cálculo que podemos comprobar con una fórmula
geométrica:
Área de la superficie lateral =
Para ver si la ecuación (4) da el mismo resultado, tomamos
y calculamos
c = 0, d = 1, x = 1 - y, dx
dy
S =
Lc
= 2p22 c y -
= p22.
Los resultados coinciden, tal como esperábamos.
d
circunferencia de la base
2
1 + adx
B dy b
2
= 21 + s -1d2 = 22
2px 1 + a
A dx
dy b
2
dy =
L0
2 y
2 d 1
= 2p22 a1 -
0
1
2 b
1
= -1,
2ps1 - yd22 dy
(4)
* altura inclinada = p22.