Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

136 Capítulo 2: Límites y continuidad
EJEMPLO 1 Recta tangente a una parábola
Encontrar la pendiente de la parábola y = x 2 en el punto P(2, 4). Escribir una ecuación para
la tangente a la parábola en este punto.
Solución Empezamos con una recta secante que pasa por P(2, 4) y Q(2 + h, (2 + h) 2 ).
Después escribimos una expresión para la pendiente de la secante PQ e investigamos qué
pasa con la pendiente cuando Q se acerca a P a lo largo de la curva:
Pendiente de la secante = ¢y
¢x = s2 + hd2 - 22 h
Si h > 0, entonces Q está arriba y a la derecha de P, como en la figura 2.66. Si h < 0, entonces
Q está a la izquierda de P (este caso no se ilustra en la figura). En cualquier caso,
cuando Q se aproxima a P a lo largo de la curva, h se aproxima a cero y la pendiente de la
secante se aproxima a 4:
Tomamos 4 para que sea la pendiente de la parábola en P.
La tangente a la parábola en P es la recta que pasa por P con pendiente 4:
y
0 2
y = 4 + 4sx - 2d
y = 4x - 4.
NO ESTÁ A ESCALA
lím sh + 4d = 4.
h:0
y x 2
Q(2 h, (2 h) 2 )
P(2, 4)
∆x h
2 h
= h2 + 4h
h
Ecuación punto-pendiente
Pendiente de la tangente 4
∆y (2 h) 2 4
x
= h2 + 4h + 4 - 4
h
= h + 4.
(2 h)
La pendiente de la secante es: h 4.
2 4
h
FIGURA 2.66 Encontrar la pendiente de la parábola y = x 2 en el punto P(2, 4) (ejemplo 1).
Determinación de una tangente a la gráfica de una función
La determinación de una tangente a una curva fue el problema matemático dominante a
principios del siglo XVII. En óptica, la tangente determina el ángulo por el que un rayo de
luz atraviesa una lente curva. En mecánica, la tangente determina la dirección del movimiento
de un cuerpo a lo largo de todos los puntos de una trayectoria. En geometría, las
tangentes a dos curvas en un punto de intersección determinan los ángulos en los que éstas
se cortan. Para encontrar una tangente a una curva arbitraria y = f(x) en un punto P(x0, f(x0)), usamos el mismo proceso dinámico. Calculamos la pendiente de la secante a través
de P y un punto Q(x0 + h, f(x0 + h)). Después investigamos el límite de la pendiente
cuando h : 0
(figura 2.67). Si el límite existe, lo llamamos la pendiente de la curva en P,
y definimos la tangente en P como la recta que pasa por P y tiene esta pendiente.