Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

114 Capítulo 2: Límites y continuidad
53.
54.
55.
56.
-x
hsxd =
4
x 4 - 7x 3 + 7x 2 hsxd =
+ 9
-2x3 - 2x + 3
3x 3 + 3x 2 9x
hsxd =
- 5x
4 + x
2x 4 + 5x 2 gsxd =
- x + 6
10x5 + x 4 + 31
x 6
Límites con potencias no enteras o negativas
El proceso mediante el que determinamos los límites de funciones
racionales funciona también para calcular razones que contienen potencias
no enteras o negativas de x, y consiste en dividir el numerador
y el denominador entre la mayor potencia de x en el denominador, y
proceder a partir de ahí. De acuerdo con ello, encuentre los límites de
los ejercicios 57 a 62.
22x + x-1
57. lím
58.
3x - 7
x: q
59. 60.
61. lím
x: q
62.
2x5>3 - x 1>3 + 7
x 8>5 lím
x: -q
+ 3x + 2x
23 x -
2
2x
3 x +
5
2x
Teoría y ejemplos
5
63. Si conocemos y en un punto interior
del dominio de f, ¿conocemos también Justifique su
respuesta.
64. Si sabemos que existe, ¿es posible encontrar su valor
calculando Justifique su respuesta.
65. Suponga que f es una función impar de x. ¿Saber que
nos indica algo acerca de Justifique su
respuesta.
66. Suponga que f es una función par de x. ¿Saber que
nos indica algo acerca de o límx:-2
Justifique su respuesta.
67. Suponga que f y g son funciones polinomiales en x, y que
límx:q sƒsxd>gsxdd = 2. ¿A partir de esos datos es posible concluir
algo respecto de límx:-q sƒsxd>gsxdd? Justifique su respuesta.
68. Suponga que f(x) y g(x) son funciones polinomiales en x. En ese
caso, ¿la gráfica de f (x)/g(x) puede tener una asíntota si g(x) nunca
es cero? Justifique su respuesta.
69. ¿Cuántas asíntotas horizontales puede tener la gráfica de una función
racional dada? Justifique su respuesta.
70. Encuentre lím
+ límx:-2 ƒsxd?
- límx:2
ƒsxd = 7
ƒsxd
-
límx:0 - límx:0
ƒsxd = 3
ƒsxd?
+
límx:c + límx:a ƒsxd?
límx:c ƒsxd
ƒsxd?
límx:a + ƒsxd
lím
x: q x-1 + x -4
x -2 - x -3
2 + 2x
lím
x: q 2 - 2x
límx:a - ƒsxd
x: q A 2x2 + x - 2x 2 - xB .
lím
x: -q 23 x - 5x + 3
2x + x2>3 - 4
Use las definiciones formales de límites cuando x : ; q para establecer
los límites de los ejercicios 71 y 72.
71. Si f tiene el valor constante ƒsxd = k, entonces lím ƒsxd = k.
x: q
72. Si f tiene el valor constante ƒsxd = k, entonces lím ƒsxd = k.
x: -q
Definiciones formales de límites laterales
73. Dado P > 0, encuentre un intervalo I = s5, 5 + dd, d 7 0, tal
que si x está en I, entonces 2x - 5 6P. ¿Qué límite se está verificando
y cuál es su valor?
74. Dado P70, encuentre un intervalo I = s4 - d, 4d, d 7 0, tal
que si x está en I, entonces 24 - x 6P. ¿Qué límite se está verificando
y cuál es su valor?
Use las definiciones de límites lateral derecho e izquierdo para probar
los límites propuestos en los ejercicios 75 y 76.
75. 76.
77. Función mayor entero Encuentre (a) y (b)
después, emplee las definiciones de límites para
verificar sus resultados. (c) Con base en las conclusiones a que
llegó en los incisos (a) y (b), ¿puede decir algo acerca de
Justifique sus respuestas.
78. Límites laterales Sea ƒsxd = e x2 límx:400
límx:400:x; ?
sen s1>xd,
2x,
x 6 0
x 7 0.
- límx:400
:x; ;
+ ƒ ƒ
x - 2
lím = 1
+
x:2 x - 2
:x;
lím
ƒ ƒ
x
= -1
-
x:0 x
Encuentre (a) y (b) límx:0 después use las definiciones
de límites para verificar sus resultados. (c) Con base en las
conclusiones a que llegó en los incisos (a) y (b), ¿puede decir algo
acerca de Justifique sus respuestas.
- límx:0 ƒsxd;
+ ƒsxd
Exploraciones gráficas: cómo “ver” límites
al infinito
Algunas veces un cambio de variable puede modificar una expresión
poco familiar para convertirla en una cuyo límite sabemos cómo encontrar.
Por ejemplo,
Esto sugiere una manera creativa de “ver” los límites al infinito. Describa
el procedimiento y úselo para ilustrar y determinar los límites de
los ejercicios 79 a 84.
79.
80.
81.
82.
83.
límx:0 ƒsxd?
lím
x: q sen 1 x
lím
x: q a1x b
lím
x: ;q
cos s1>xd
lím
x: -q 1 + s1>xd
3x + 4
lím
x: ;q 2x - 5
1>x
x sen 1 x
= 0.
lím
x: ;q a3 + 2 x bacos 1 x b
= lím sen u + u:0
3
84. lím a
x: q x 2 - cos 1 x ba1 + sen 1 x b
Sustituir u = 1>x