Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

–5 5 3
–5 0 3
4 1 1 4 3
1 4
FIGURA 1.2 Los valores absolutos
indican las distancias entre los puntos de la
recta numérica.
El conjunto solución es el intervalo abierto s -3>7, q d (figura 1.1b).
(c) La desigualdad 6>sx - 1d Ú 5 puede satisfacerse solamente si x 7 1, ya que en cualquier
otro caso 6>sx - 1d no está definido o es negativo. Así, sx - 1d es positivo y la
desigualdad no se altera si multiplicamos ambos lados por sx - 1d, y tenemos que
6
x - 1
11 Ú 5x
11
5
Ú 5
6 Ú 5x - 5
Ú x.
Multiplicar ambos lados por sx - 1d.
Sumar 5 en ambos lados.
El conjunto solución es el intervalo semiabierto (1, 11>5]
(figura 1.1c).
Valor absoluto
El valor absoluto de un número x, denotado por ƒ x ƒ, se define como
ƒ x ƒ = e
EJEMPLO 2 Encontrar los valores absolutos
1.1 Los números reales y la recta real 5
O x … 11
5 .
x, x Ú 0
-x, x 6 0.
ƒ 3 ƒ = 3, ƒ 0 ƒ = 0, ƒ -5 ƒ = -s-5d = 5, ƒ - ƒ a ƒ ƒ = ƒ a ƒ
Geométricamente, el valor absoluto de x es la distancia de x a 0 sobre la recta real.
Como las distancias siempre son positivas o 0, si vemos que ƒ x ƒ Ú 0 para todo número real
x, y ƒ x ƒ = 0 si y sólo si x = 0. También
ƒ x - y ƒ = es igual a la distancia entre x y y
la distancia entre x y y sobre la recta real (figura 1.2).
Como el símbolo denota siempre la raíz cuadrada no negativa de a, una definición
alternativa de es
ƒ x ƒ = 2x 2 2a
ƒ x ƒ
.
Es importante recordar que No se puede escribir 2a a menos que sepamos
de antemano que a Ú 0.
El valor absoluto tiene las propiedades siguientes. (Se le pedirá que pruebe estas propiedades
en los ejercicios).
2 2a = a
2 = ƒ a ƒ.
Propiedades del valor absoluto
1. Un número y su inverso aditivo o negativo tienen
el mismo valor absoluto.
2. El valor absoluto de un producto es el producto de
3. `
los valores absolutos.
El valor absoluto de un cociente es el cociente de
los valores absolutos.
4. ƒ a + b ƒ … ƒ a ƒ + ƒ b ƒ La desigualdad triangular. El valor absoluto de
la suma de dos números es menor o igual que la
suma de sus valores absolutos.
a
b ` = ƒ ƒ -a ƒ = ƒ a ƒ
ƒ ab ƒ = ƒ a ƒ ƒ b ƒ
a ƒ
ƒ b ƒ