Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

1
y
1
2
0
y 1 x
1 2
FIGURA 7.10 El rectángulo de altura
y = 1>2 cabe exactamente debajo de la
gráfica de y = 1>x para el intervalo
1 … x … 2.
x
7.2 Logaritmos naturales 481
Podemos estimar el valor de ln 2 considerando el área que está debajo de la gráfica de
1> x y sobre el intervalo [1, 2]. En la figura 7.10, un rectángulo de altura 1> 2 sobre el intervalo
[1, 2] cabe bajo la gráfica. Por lo tanto el área bajo la gráfica, que es ln 2, es mayor
que el área, 1> 2 , del rectángulo. Así, ln 2 7 1>2. Sabiendo esto, tenemos,
y
De donde se sigue que
ln 2n = n ln 2 7 n a 1 n
b =
2 2
ln 2-n = -n ln 2 6 -na 1
b =-n
2 2 .
lím
x: q ln x = q y lím
x:0 + ln x = -q .
Definimos ln x para x 7 0, de modo que el dominio de ln x es el conjunto de los números
reales positivos. El análisis anterior y el Teorema del Valor Intermedio demuestran que su
rango es toda la recta real, con lo que se obtiene la gráfica de y = ln x, que se muestra en la
figura 7.9.
La integral 1s1/ud du
La ecuación (1) nos lleva a la fórmula integral
L 1 u du = ln u + C
cuando u es una función diferenciable positiva, pero, ¿qué pasa si u es negativa? Si u es
negativa, –u es positiva y
L 1 u du = L 1
ds -ud
s -ud
= ln s -ud + C.
(3)
La ecuación (3) con u reemplazada por -u
Podemos combinar las ecuaciones (3) y (4) en una sola fórmula, notando que en cada caso
la expresión del lado derecho es ln ƒ u ƒ + C. En la ecuación (3), ln u = ln ƒ u ƒ , ya que
u 7 0; en la ecuación (4), ln s -ud = ln ƒ u ƒ ya que u 6 0. Si u es positiva o negativa, la integral
de (1> u) du es ln ƒ u ƒ + C.
Si u es una función diferenciable que nunca es cero,
L 1 u du = ln ƒ u ƒ + C.
La ecuación (5) es válida en cualquier punto del dominio de 1>u,
(los puntos en donde
u Z 0).
Sabemos que
L un du =
un + 1
n + 1
+ C, n Z -1 y racional
(5)
(4)