Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

214 Capítulo 3: Derivadas
dh
dt
?
dV
dt
–3000 L/min
FIGURA 3.42 La razón de cambio del
volumen de un fluido en un tanque
cilíndrico se relaciona con la razón de
cambio del nivel del fluido en el tanque
(ejemplo 1).
r
h
Ecuaciones de tasas relacionadas
Suponga que estamos bombeando aire en un globo esférico. Tanto el volumen como el radio
del globo crecen con el tiempo. Si V es el volumen y r es el radio del globo en un instante
determinado, entonces
Usando la regla de la cadena, derivamos para encontrar la ecuación de tasas relacionadas
De manera que si conocemos el radio r del globo y la razón dV>dt en la que el volumen está
creciendo en un instante dado, podemos resolver esta última ecuación para dr>dt a fin
de encontrar qué tan rápido crece el radio en ese instante. Observe que es más fácil medir
directamente la razón de cambio de crecimiento del volumen que medir el crecimiento del
radio. La ecuación de tasas relacionadas nos permite calcular dr>dt a partir de dV>dt
A menudo la clave para relacionar variables en problemas de tasas relacionadas consiste
en hacer un dibujo que muestre las relaciones geométricas entre ellas, como se ilustra
en el ejemplo siguiente.
EJEMPLO 1 Vaciado de un tanque
¿Qué tan rápido baja el nivel de líquido en un tanque cilíndrico vertical, si drenamos aquel
a una razón de 3000 L> min?
Solución Hacemos un dibujo para representar un tanque cilíndrico vertical medio lleno,
y llamamos r a su radio y h a la altura del líquido (figura 3.42). Denominemos V al volumen
del líquido.
Conforme pasa el tiempo, el radio permanece constante, pero V y h cambian. Pensamos
en V y h como funciones diferenciables del tiempo y usamos t para representar el
tiempo. Sabemos que
Queremos encontrar
dV
dt
Para encontrar dh>dt,
primero escribimos una ecuación que relacione h con V. La
ecuación depende de las unidades elegidas para V, r y h. Con V en litros y r y h en metros,
la ecuación apropiada para determinar el volumen del cilindro es
ya que un metro cúbico contiene 1000 L.
Como V y h son funciones diferenciables de t, podemos derivar ambos lados de la
ecuación V = 1000pr 2 h con respecto a t para obtener una ecuación que relacione dh>dt
con dV>dt:
Sustituimos el valor conocido dV>dt = -3000 y resolvemos para dh>dt:
dh
dt
dV
=
dr dr
dt
dV
dt
V = 4
3 pr 3 .
dV
dt
= -3000.
dh
dt .
= 4pr 2 dr
dt .
V = 1000pr 2 h
= 1000pr 2 dh
dt .
-3000 3
= =- 2 1000pr pr
Drenamos a razón de 3000 L> min.
La razón es negativa, ya que el
volumen está decreciendo.
2 .
¿Qué tan rápido baja el nivel del líquido?
r es una constante.