Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

Sustituimos estos valores en la ecuación (2), obteniendo
Por último, usando el desarrollo anterior podemos integrar:
L
EJEMPLO 5 Un factor cuadrático irreducible repetido
Evaluar
8.3 Integración de funciones racionales por medio de fracciones parciales 575
Solución La forma de la descomposición en fracciones parciales es
Multiplicando por x(x 2 + 1) 2 , tenemos
Si igualamos coeficientes, obtenemos el sistema
Resolviendo este sistema se obtiene A = 1, B = –1, C = 0, D = –1 y E = 0. Así,
L
-2x + 4
sx 2 2x + 1
= 2 + 1dsx - 1d x2 + 1 -
-2x + 4
sx 2 + 1dsx - 1d 2 dx = L
1
xsx 2 + 1d 2 = A x
dx
xsx 2 + 1d 2 = L c1 x +
= L dx
x
= ln ƒ x ƒ - 1
2 ln ƒ u ƒ + 1
2u
= ln ƒ x ƒ - 1
2 ln sx2 + 1d +
= ln
a2x + 1
x 2 + 1 -
= L a 2x
x 2 + 1 +
L
= L dx
x - L
-x
x 2 + 1 +
- 1
2 L du u
ƒ x ƒ
2x 2 + 1 +
dx
xsx 2 . 2 + 1d
+ Bx + C
x 2 + 1
2
x - 1 +
2
x - 1 +
1
x 2 + 1 -
= ln sx 2 + 1d + tan -1 x - 2 ln ƒ x - 1 ƒ -
1 = Asx 2 + 1d 2 + sBx + Cdxsx 2 + 1d + sDx + Edx
= Asx 4 + 2x 2 + 1d + Bsx 4 + x 2 d + Csx 3 + xd + Dx 2 + Ex
= sA + Bdx 4 + Cx 3 + s2A + B + Ddx 2 + sC + Edx + A
A + B = 0, C = 0, 2A + B + D = 0, C + E = 0, A = 1.
x dx
x 2 + 1 - L
-x
sx2 d dx 2 + 1d
- 1
2 L du
u 2
1
2sx 2 + 1d
+ Dx + E
sx 2 + 1d 2
x dx
sx 2 + 1d 2
+ K
2
x - 1 +
1
2sx 2 + 1d
+ K.
1
. 2 sx - 1d
1
b dx 2
sx - 1d
1
b dx 2 sx - 1d
+ K
1
x - 1
+ C.
u = x
du = 2x dx
2 + 1,