Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

498 Capítulo 7: Funciones trascendentes
TABLA 7.2 Reglas para
logaritmos con base a
Para cualesquiera números x 7 0
y y 7 0,
1. Regla del producto:
loga xy = loga x + loga y
2. Regla del cociente:
loga x y = loga x - loga y
3. Regla del recíproco:
loga 1 y = -loga y
4. Regla de la potencia:
loga x y = y loga x
EJEMPLO 4 Aplicación de las ecuaciones inversas
(a) (b) log10 s10-7 log2 s2 d = -7
5d = 5
(c) (d)
2 log2 s3d = 3
10 log10 s4d = 4
Evaluación de loga x
La evaluación de loga x se simplifica si observamos que loga x es un múltiplo de ln x.
loga x = 1
ln a # ln x =
ln x
ln a
Podemos deducir esta ecuación a partir de la ecuación (3):
Por ejemplo,
Ecuación (3)
Tomar el logaritmo natural de ambos lados
Regla de la potencia del teorema 2
Despejar loga x.
Las reglas aritméticas que satisface log a x son las mismas que las de ln x (teorema 2).
Estas reglas, dadas en la tabla 7.2, pueden demostrarse dividiendo las reglas correspondientes
para la función logaritmo natural entre ln a. Por ejemplo,
ln xy
ln a
a loga sxd = x
ln a loga sxd = ln x
loga sxd # ln a = ln x
loga x =
log10 2 =
ln xy = ln x + ln y
= ln x
ln a
+ ln y
ln a
loga xy = loga x + loga y.
Derivadas e integrales que incluyen loga x
Regla 1 para logaritmos naturales
Á dividiendo entre ln a Á
(5)
Á se obtiene la regla 1 para logaritmos con base a.
Para determinar derivadas o integrales que incluyen logaritmos en base a, los convertimos
a logaritmos naturales.
Si u es una función positiva diferenciable de x, entonces
d
dx sloga ud = d
dx
ln x
ln a
ln 2
ln 10
L 0.69315
2.30259
L 0.30103
u 1
aln b =
ln a ln a d 1
sln ud = # 1
dx ln a u du
dx .
d
dx sloga ud = 1 # 1
ln a u du
dx
Á