Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

310 Capítulo 4: Aplicaciones de las derivadas
Solución Tenemos que ƒsxd = 3gsxd + hsxd
para las funciones g y h del ejemplo 3. Como
Gsxd = 22x es una antiderivada de g(x) del ejemplo 3b, de acuerdo con la regla de
múltiplo constante para antiderivadas, resulta que 3Gsxd = 3 # 22x = 62x es una antiderivada
de 3gsxd = 3> 2x. De la misma manera, a partir del ejemplo 3c sabemos que
Hsxd = s -1>2d cos 2x es una antiderivada de hsxd = sen 2x. De acuerdo con la regla de
la suma para antiderivadas, resulta que
Fsxd = 3Gsxd + Hsxd + C
= 62x - 1
cos 2x + C
2
es la fórmula general de la antiderivada de f(x), donde C es una constante arbitraria.
Las antiderivadas juegan varios papeles importantes, y los métodos y técnicas para
encontrarlas son una de las partes clave del cálculo. (Éste es el tema del capítulo 8).
Problemas de valor inicial y ecuaciones diferenciales
Encontrar una antiderivada de una función f (x) constituye el mismo problema que encontrar
una función y(x) que satisfaga la ecuación
dy
dx
= ƒsxd.
A esto se le llama ecuación diferencial, ya que es una ecuación que involucra una función
desconocida y que está siendo derivada. Para resolverla, necesitamos una y(x) que satisfaga
la ecuación. Esta función se encuentra tomando la antiderivada de f (x). Fijamos la
constante arbitraria que surge en el proceso de antiderivación dando una condición inicial
ysx0d = y0.
Esta condición significa que la función y(x) tiene el valor y0 cuando x = x0. La combinación
de una ecuación diferencial y una condición inicial se llama problema de valor inicial.
Tales problemas juegan papeles importantes en todas las ramas de la ciencia. He aquí
un ejemplo de un problema de valor inicial.
EJEMPLO 5 Determinación de una curva a partir de su función pendiente y un punto
Encontrar la curva cuya pendiente en el punto (x, y) es si la curva debe pasar por el
punto s1, -1d.
Solución En lenguaje matemático, estamos pidiendo resolver el problema de valor inicial
que consiste de lo siguiente.
La ecuación diferencial: dy
dx
La ecuación inicial: ys1d = -1
La pendiente de la curva es 3x2 .
1. Resolver la ecuación diferencial: La función y es una antiderivada de ƒsxd = 3x de
manera que
2 ,
y = x 3 + C.
= 3x2
Este resultado nos dice que y es igual a x para algún valor de C. Encontramos
ese valor a partir de la condición inicial ys1d = -1.
3 + C
3x 2