Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

164 Capítulo 3: Derivadas
Ilustración de la regla del producto
Si u(x) y v(x) son positivas y
crecientes conforme x crece, y si h > 0,
y(x h)
y
y(x)
0
u(x) y u y
u(x)y(x)
y(x) u
u(x) u(x h)
u
de manera que el área sombreada total
en la figura es
usx + hdysx + hd - usxdysxd
= usx + hd ¢y + ysx + hd
¢u - ¢u¢y.
Dividiendo ambos lados de la ecuación
entre h, obtenemos
usx + hdysx + hd - usxdysxd
h
- ¢u ¢y
h .
= usx + hd ¢y
h
Como h : 0 + ,
+ ysx + hd ¢u
h
¢u #
obteniendo
¢y
h : 0 # dy
= 0,
dx
d dy du
suyd = u + y
dx dx dx .
La derivada del producto uv es u veces la derivada de v más v veces la derivada de u.
En notación prima, suyd¿ =uy¿ +yu¿ . En notación de funciones,
EJEMPLO 7 Uso de la regla del producto
Encontrar la derivada de
Solución Aplicamos la regla del producto con y y = x 2 u = 1>x + s1>xd:
d
dx c1 x ax2 + 1 x bd = 1 x
Demostración de la regla 5
d
[ƒsxdgsxd] = ƒsxdg¿sxd + gsxdƒ¿sxd.
dx
1
a2x -
x2 b + ax2 + 1 1
x ba- b 2 x
= 1 - 2
= 2 -
. 3 x 1 1
- 1 - 3 x x3 y = 1 x ax2 + 1 x b .
d
usx + hdysx + hd - usxdysxd
suyd = lím
dx h:0 h
Para convertir esta fracción en una equivalente que contenga los cocientes de diferencias
para las derivadas de u y y, restamos y sumamos u(x + h)v(x) en el numerador:
d
usx + hdysx + hd - usx + hdysxd + usx + hdysxd - usxdysxd
suyd = lím
dx h:0 h
ysx + hd - ysxd
= lím cusx + hd
h:0 h
= lím usx + hd # ysx + hd - ysxd
lím
h:0 h:0 h
Cuando h tiende a cero, u(x + h) tiende a u(x), ya que u, siendo diferenciable en x, es
continua en x. Las dos fracciones tienden a los valores de dy>dx en x y du>dx en x. En
resumen
d dy
suyd = u
dx dx
+ ysxd
+ y du
dx .
En el ejemplo siguiente trabajaremos únicamente con valores numéricos.
EJEMPLO 8 Derivadas a partir de valores numéricos
Sea y = uv el producto de las funciones u y y. Encontrar y¿s2d si
us2d = 3, u¿s2d = -4, ys2d = 1 y y¿s2d = 2.
Solución De acuerdo con la regla del producto, en la forma
y¿ =suyd¿ =uy¿ +yu¿ ,
usx + hd - usxd
d
h
+ ysxd # lím
h:0
d
dx a1 d dy du
suyd = u + y
dx dx dx
x b =-1 por
2
x y
Ejemplo 3, sección 2.7
usx + hd - usxd
.
h