Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

118 Capítulo 2: Límites y continuidad
Asíntota vertical
Asíntota
horizontal
1
0
y
1
y 1 x
Asíntota
horizontal
y 0
Asíntota vertical
x 0
FIGURA 2.42 Los ejes coordenados son
asíntotas de ambas ramas de la hipérbola
y = 1>x.
Asíntota
horizontal
y 1
5
Asíntota
vertical
x 2
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
y
0
1
2
3
4
x
x
y
3
x 2
1 1
x 2
1
2 3
FIGURA 2.43 Las rectas y = 1 y
x = –2 son asíntotas de la curva
y = sx + 3d>sx + 2d
(ejemplo 5).
x
Asíntotas verticales
Observe que la distancia entre un punto de la gráfica de y = 1/x y el eje y se aproxima a
cero cuando el punto se mueve verticalmente a lo largo de la gráfica y lejos del origen (figura
2.42). Este comportamiento ocurre debido a que
lím
x:0 + 1 x = q y lím
x:0 - 1 x = -q .
Decimos que la recta x = 0 (el eje y) es una asíntota vertical de la gráfica de y = 1/x. Observe
que el denominador es cero en x = 0 y la función no está definida ahí.
DEFINICIÓN Asíntota vertical
Una recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de una función y = f(x) ya
sea que
EJEMPLO 5 Búsqueda de asíntotas
lím
x:a + ƒsxd = ;q o lím
x:a - ƒsxd = ;q .
Encontrar las asíntotas horizontal y vertical de la curva
Solución Estamos interesados en el comportamiento cuando x : ; q y cuando
x : -2, donde el denominador es cero.
Las asíntotas se descubren rápidamente si escribimos la función racional como una
polinomial con un residuo, dividiendo (x + 2) entre (x + 3).
Este resultado nos permite rescribir y:
y =
1
x + 2x + 3
x + 2
1
y = 1 +
x + 3
x + 2 .
1
x + 2 .
Ahora vemos que la curva en cuestión es la gráfica de y = 1/x desplazada 1 unidad hacia
arriba y 2 unidades hacia la izquierda (figura 2.43). Las asíntotas, en lugar de ser los ejes
coordenados, son ahora las rectas y = 1 y x = –2.
EJEMPLO 6 Las asíntotas no necesariamente son bilaterales
Encuentre las asíntotas horizontal y vertical de la gráfica de
8
ƒsxd =-
x
Solución Estamos interesados en el comportamiento cuando x : ; q y conforme
x : ;2, donde el denominador es cero. Observe que f es una función par de x, de manera
que su gráfica es simétrica respecto del eje y.
(a) El comportamiento cuando x : ; q . Como límx:q ƒsxd = 0, la recta y = 0 la recta
y = 0 es una asíntota horizontal de la gráfica a la derecha. Por simetría, también hay
2 - 4 .