Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

ferenciable de x. Con mayor precisión, si g es diferenciable en x 0 y f es diferenciable en
g(x 0), entonces la composición es diferenciable en x 0 y
Sea ¢x el incremento de x, y sean ¢u y ¢y los incrementos correspondientes en u y y.
Aplicando la ecuación (1) tenemos
donde P1 : 0 cuando ¢x : 0. De manera similar,
donde P2 : 0 cuando ¢u : 0. También observamos que ¢u : 0 cuando ¢x : 0. Combinando
estas ecuaciones para ¢u y ¢y obtenemos
de manera que
Como P1 y P2 tiende a cero si ¢x tiende a cero, tres de los cuatro términos de la derecha
desaparecen en el límite, dejando
Con esto concluye la prueba.
Sensibilidad al cambio
La ecuación df = ƒ¿sxd dx nos dice que tan sensible es el resultado de f ante un cambio
en los datos para diferentes valores de x. A mayor valor de ƒ¿ en x, mayor efecto del cambio
dado – dx. Cuando nos movemos de a a un punto cercano a + dx, podemos describir el
cambio en f de tres maneras:
Cambio absoluto
Cambio relativo
Cambio porcentual
¢y
¢x = ƒ¿su0dg¿sx0d +P2 g¿sx0d + ƒ¿su0dP1 +P2P1.
dy
dx ` = lím
x=x0 ¢x:0 ¢y
¢x = ƒ¿su0dg¿sx0d = ƒ¿sgsx0dd # g¿sx0d.
Real Estimado
¢f = ƒsa + dxd - ƒsad
¢f
ƒsad
¢f
* 100
ƒsad
EJEMPLO 7 Determinación de la profundidad de un pozo
Queremos calcular la profundidad en un pozo a partir de la ecuación s = 16t midiendo el
tiempo que tarda una roca pesada en golpear el agua en el fondo del pozo. ¿Qué tan sensible
serán sus cálculos si se comete un error de 0.1 seg en la medida del tiempo?
2
Solución El tamaño de ds en la ecuación
dy
dx ` = ƒ¿s gsx0dd # g¿sx0d.
x=x0
¢u = g¿sx0d¢x +P1 ¢x = sg¿sx0d +P1d¢x,
¢y = ƒ¿su0d¢u +P2 ¢u = sƒ¿su0d +P2d¢u,
¢y = sƒ¿su0d +P2dsg¿sx0d +P1d¢x,
ds = 32t dt
3.8 Linealización y diferenciales 229
df = ƒ¿sad dx
df
ƒsad
df
* 100
ƒsad