Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

tenemos
EJEMPLO 9 Dos métodos para derivar un producto
Encontrar la derivada de y = sx 2 + 1dsx 3 + 3d.
Solución
y¿s2d = us2dy¿s2d + ys2du¿s2d
(a) De acuerdo con la regla del producto, con y y = x encontramos
que
3 u = x + 3,
2 + 1
d
dx CAx2 + 1BAx 3 + 3BD = sx 2 + 1ds3x 2 d + sx 3 + 3ds2xd
(b) Este producto en particular también puede derivarse (quizás mejor) multiplicando la
expresión original para y y derivando la función polinomial resultante:
dy
dx = 5x4 + 3x 2 + 6x.
Esto concuerda con nuestro primer cálculo.
= s3ds2d + s1ds -4d = 6 - 4 = 2.
= 3x 4 + 3x 2 + 2x 4 + 6x
= 5x 4 + 3x 2 + 6x.
y = sx 2 + 1dsx 3 + 3d = x 5 + x 3 + 3x 2 + 3
3.2 Reglas de diferenciación 165
Así como la derivada de un producto de dos funciones diferenciables no es el producto de
sus derivadas, la derivada del cociente de dos funciones no es el cociente de sus derivadas.
Lo que pasa en este caso queda explicado por la regla del cociente.
REGLA 6 Regla de la derivada de un cociente
Si u y y son diferenciables en x, y si y(x) Z 0, entonces el cociente uNy es diferenciable
en x y
En notación de funciones
d
dx au y b =
EJEMPLO 10 Uso de la regla del cociente
Encontrar la derivada de
d
dx
y du
dx
dy
- u
dx
.
y 2
ƒsxd gsxdƒ¿sxd - ƒsxdg¿sxd
c d =
gsxd g2 .
sxd
y = t 2 - 1
t 2 + 1 .