Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

2.5
B
y
Límites infinitos y asíntotas verticales
Se puede llegar tan
alto como se desee
tomando x suficien
temente cercana a 0.
No importa que tan
alta esté B la gráfica
va más alto.
y 1 x
2.5 Límites infinitos y asíntotas verticales 115
En esta sección ampliaremos el concepto de límite a los límites infinitos que, a diferencia
de los que hemos hablado hasta el momento, exigen una definición completamente nueva.
Los límites infinitos proveen símbolos y conceptos útiles para describir el comportamiento
de funciones cuyos valores positivos o negativos se vuelven arbitrariamente grandes. Continuaremos
el análisis de las gráficas de funciones racionales que realizamos en la última
sección, usando asíntotas verticales y términos dominantes para valores numéricamente
grandes de x.
Límites infinitos
Veamos nuevamente la función f(x) = 1/x. Cuando los valores de f crecen sin cota,
alcanzando y sobrepasando todo número real positivo. Esto es, dado cualquier número
real positivo B, tan grande como queramos, los valores de f se vuelven todavía mayores
(figura 2.37). Por lo tanto, f no tiene límite cuando Sin embargo, es conveniente
describir el comportamiento de f diciendo que f (x) se aproxima a cuando x : 0
Escribimos
+ x : 0
q
.
+ x : 0
.
+ ,
Al escribir esto no estamos diciendo que el límite existe, Y tampoco que hay un número
real ya que no existe tal número. Más bien, estamos diciendo que no
existe, porque 1/x se vuelve arbitrariamente grande y positiva cuando
A medida que x : 0 los valores de f(x) = 1/x se vuelven arbitrariamente grandes en
valor absoluto y negativos. Dado cualquier número real –B, los valores de f terminan ubicándose
por debajo de –B. (Vea la figura 2.37). Escribimos
- x : 0
,
+ límx:0
.
+ lím ƒsxd = lím
+ x:0 x:0
q ,
s1>xd
+ 1 x = x 0
x
x
No importan que
tan baja esté B la
q .
Se puede llegar tan
gráfica va más bajo.
bajo como se quiera
tomando x suficiente
mente cercana a 0.
B
FIGURA 2.37 Límites laterales infinitos:
lím
x:0 + 1 x = q y lím
x:0 - 1 x = -q
1
1
y
y
1
x 1
0 1 2 3
FIGURA 2.38 Cerca de x = 1, la función
y = 1>sx - 1d
se comporta igual que la
función y = 1>x cerca de x = 0. Su gráfica
es la gráfica de y = 1>x desplazada 1
unidad a la derecha (ejemplo 1).
x
Una vez más, no se está afirmando que el límite existe, ni que es igual al número No
existe ningún número real En realidad, estamos describiendo el comportamiento de
una función cuyo límite cuando x : 0 no existe, porque sus valores son arbitrariamente
grandes en valor absoluto y negativos.
-
- q .
- q .
EJEMPLO 1 Límites laterales infinitos
Encuentre y
lím
1
x - 1
x:1 +
Solución geométrica La gráfica de y = 1/(x – 1) es la gráfica de y = 1/x, desplazada una
unidad a la derecha (figura 2.38). Por lo tanto, el comportamiento de y = 1/(x – 1) cerca del
1 es exactamente el mismo que el de y = 1/x cerca del cero:
lím
x:1 +
lím ƒsxd = lím
- x:0 x:0 - 1 x = -q .
lím
x:1 -
1
x - 1 .
1
x - 1 = q y lím
x:1 -
1
x - 1 = -q .
Solución analítica Piense en el número x – 1 y su recíproco. Cuando tenemos
y Cuando tenemos sx - 1d : 0 y
1>sx - 1d : - q .
-
x : 1- sx - 1d : 0 1>sx - 1d : q .
,
+
x : 1 + ,