Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

6 Capítulo 1: Preliminares
a
a x 0 a
x
FIGURA 1.3 ƒ x ƒ 6 a significa que x está
entre -a y a.
a
Observe que ƒ -a ƒ Z -ƒaƒ. Por ejemplo, ƒ -3 ƒ = 3, mientras que - ƒ 3 ƒ = -3. Si a y b
tienen distinto signo, entonces ƒ a + b ƒ en cualquier otro caso, ƒ a ƒ + ƒ b ƒ. En expresiones
como ƒ a + b ƒ es igual a ƒ a ƒ + ƒ b ƒ. Las barras que denotan valor absoluto ƒ -3 + 5 ƒ funcionan
como los paréntesis: deben realizarse las operaciones aritméticas del interior antes
de tomar el valor absoluto.
EJEMPLO 3 Ilustrar la desigualdad triangular
ƒ -3 + 5 ƒ = ƒ 2 ƒ = 2 6 ƒ -3 ƒ + ƒ 5 ƒ = 8
ƒ 3 + 5 ƒ = ƒ 8 ƒ = ƒ 3 ƒ + ƒ 5 ƒ
ƒ -3 - 5 ƒ = ƒ -8 ƒ = 8 = ƒ -3 ƒ + ƒ -5 ƒ
La desigualdad ƒ x ƒ 6 a indica que la distancia de x a 0 es menor que el número positivo
a. Esto significa que x debe estar entre -a y a, como puede verse en la figura 1.3.
Todos los siguientes enunciados son consecuencia de la definición de valor absoluto,
y suelen ser útiles en la resolución de ecuaciones o desigualdades con valor absoluto.
Valores absolutos e intervalos
Si a es cualquier número positivo, entonces
5. ƒ x ƒ = a si y sólo si x = ;a
6. ƒ x ƒ 6 a si y sólo si -a 6 x 6 a
7. ƒ x ƒ 7 a si y sólo si x 7 a o x 6 -a
8. ƒ x ƒ … a si y sólo si -a … x … a
9. ƒ x ƒ Ú a si y sólo si x Ú a o x … -a
En matemática, el símbolo 3
denota con frecuencia la relación lógica “si y sólo si”.
También significa “implica y es implicado por”.
EJEMPLO 4 Resolver una ecuación con valores absolutos
Resolver la ecuación
ƒ 2x - 3 ƒ = 7.
Solución De acuerdo con la propiedad 5, 2x - 3 = ;7, así que hay dos posibilidades:
Las soluciones de ƒ 2x - 3 ƒ = 7 son x = 5 y x = -2.
EJEMPLO 5 Resolver una desigualdad con valor absoluto
Resolver la desigualdad ` 5 - 2 x ` 6 1.
2x - 3 = 7 2x - 3 = -7
2x = 10 2x = -4
x = 5 x = -2
Ecuaciones equivalentes
sin valores abolutos.
Resolver como de costumbre.