Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

374 Capítulo 5: Integración
V máx
V prom 2V máx
0
V
V V máx sen 120t
1
120
1
60
FIGURA 5.25 La gráfica del voltaje
V = Vmáx sen 120pt en un ciclo completo.
Su valor promedio en la mitad de un ciclo
es 2Vmáx>p. Su valor promedio en un
ciclo completo es cero (ejemplo 9).
EJERCICIOS 5.5
Evaluación de integrales
EJEMPLO 9 Electricidad en el hogar
Podemos modelar el voltaje de la instalación eléctrica de nuestra casa con la función seno
que expresa el voltaje V en voltios como una función del tiempo t en segundos. La función
efectúa 60 ciclos cada segundo (su frecuencia es 60 hertz o 60 Hz). La constante positiva
Vmáx es el pico del voltaje.
El valor promedio de V en medio ciclo de 0 a 1>120 seg (vea la figura 5.25) es
Vprom =
= Vmáx
p
El valor promedio del voltaje en un ciclo completo es cero, como podemos verlo en la figura
5.25. (Vea también el ejercicio 63). Si midiéramos el voltaje con un galvanómetro estándar,
la lectura sería cero.
Para medir el voltaje eficientemente, usamos un instrumento que mide la raíz cuadrada
del valor promedio del cuadrado del voltaje, a saber
El subíndice “rpc” significa “raíz del promedio del cuadrado”. Como el valor promedio de
V en un ciclo es
2 = sVmáxd2 sen2 120pt
sV
(ejercicio 63, inciso c), la rpc del voltaje es
2 1
dprom =
s1>60d - 0 L0
Los valores dados para las instalaciones eléctricas caseras y los voltajes siempre son valores
rpc. Así, “115 voltios de corriente alterna” significa que la rpc del voltaje es 115. El pico
del voltaje, que se obtiene a partir de la última ecuación, es
que es considerablemente alto.
Evalúe las integrales indefinidas de los ejercicios 1 a 12, usando la
sustitución dada para reducir las integrales a la forma estándar.
1. 2. x sen s2x
L 2 d dx, u = 2x 2
sen 3x dx, u = 3x
L
1
s1>120d - 0
= 120Vmáx c- 1
120p cos 120pt d 1>120
0
= 2Vmáx
p .
V = Vmáx sen 120pt,
[-cos p + cos 0]
Vrpc = 2sV 2 dprom
Vrpc = B
L0
sVmáxd 2
2
1>120
Vmáx sen 120pt dt
Vmáx = 22 Vrpc = 22 # 115 L 163 voltios,
3.
.
1>60
sVmáxd2 sen2 2
sVmáxd
120pt dt =
= Vmáx
22 .
sec 2t tan 2t dt, u = 2t
L
4. a1 - cos
L t
2 b
2
sen t
t
dt, u = 1 - cos
2 2
2
,