Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

94 Capítulo 2: Límites y continuidad
2
2
2
0
3
y
1
5
y 5x 3
1
1
5
NO ESTÁ A ESCALA
FIGURA 2.15 Si ƒsxd = 5x - 3,
0 6 ƒ x - 1 ƒ 6P>5garantiza
que
ƒ ƒsxd - 2 ƒ 6P(ejemplo
2).
x 0
x0
x0 x0
x 0
y
y x
0 x0 x0 x0
FIGURA 2.16 Para la función ƒsxd = x,
encontramos que 0 6 ƒ x - x0 ƒ 6 d
garantizará que ƒ ƒsxd - x0 ƒ 6Psiempre
y
cuando d …P(ejemplo
3a).
x
x
EJEMPLO 2 Comprobación de la definición
Probar que
Solución Sean x0 = 1, f(x) = 5x – 3 y L = 2 en la definición de límite. Para cualquier
P70, dada, debemos encontrar una d > 0 conveniente, de manera que si x Z 1 y x está a
una distancia menor que d de x0 = 1, es decir, siempre que
es cierto que f(x) está a una distancia menor que P de L = 2, de modo que
Para determinar d, trabajamos hacia atrás a partir de la desigualdad P:
Por lo tanto, podemos tomar d = P/5 (figura 2.15). Si 0 < |x – 1| < d = P/5, entonces
lo que prueba que límx:1s5x - 3d = 2.
El valor de d = P/5 no es el único que hará que 0 < |x – 1| < d implique |5x – 5| < P.
Cualquier d positiva menor lo hará. La definición no exige encontrar la “mejor” d positiva,
sino simplemente una que funcione.
EJEMPLO 3 Límites de las funciones identidad y constante
Probar que:
(a) lím x = x0 (b) lím k = k (k constante).
x:x0
ƒ s5x - 3d - 2 ƒ = ƒ 5x - 5 ƒ 6P
5 ƒ x - 1 ƒ 6P
ƒ x - 1 ƒ 6P>5.
ƒ s5x - 3d - 2 ƒ = ƒ 5x - 5 ƒ = 5 ƒ x - 1 ƒ 6 5sP>5d =P,
x:x0
lím s5x - 3d = 2.
x:1
0 6 ƒ x - 1 ƒ 6 d,
ƒ ƒsxd - 2 ƒ 6P.
Solución
(a) Sea P > 0 dado. Debemos encontrar d > 0 tal que para toda x
0 6 ƒ x - x0 ƒ 6 d implique ƒx - x0 ƒ 6P.
La implicación será válida si d es igual a P o a cualquier número positivo menor (figura
2.16). Esto prueba que límx:x0 x = x0.
(b) Sea P > 0 dado. Debemos encontrar d > 0 tal que para toda x
0 6 ƒ x - x0 ƒ 6 d implique ƒk - k ƒ 6P.
Como k – k = 0, podemos usar cualquier número positivo para d, y la implicación será
válida (figura 2.17). Esto prueba que k = k.
límx:x0
Determinación algebraica de una delta para épsilon dado
En los ejemplos 2 y 3, el intervalo de valores alrededor de x0 para los que |f(x) – L| era
menor que P, era simétrico alrededor de x0, lo que nos permitió considerar que d fuera