Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

Densidad
La densidad de la materia es su masa por
unidad de volumen. Sin embargo, en la
práctica tendemos a utilizar unidades que
puedan medirse de manera más
conveniente. En el caso de alambres,
varillas y bandas angostas, utilizamos
masa por unidad de longitud; en el de
hojas planas y placas, utilizamos masa
por unidad de área.
a
c.m.
a b
2
FIGURA 6.30 El centro de masa de una
varilla o de una barra delgada recta de
densidad constante, se encuentra a su
punto medio (ejemplo 1).
b
x
EJEMPLO 1 Franjas y varillas de densidad constante
6.4 Momentos y centro de masa 427
En segundo lugar, el momento de cada pieza de la franja respecto del origen es aproximadamente
xk ¢mk, por lo que el momento del sistema es aproximadamente igual a la
suma de :
xk ¢mk
En tercera instancia, si la densidad de la franja en xk es dsxkd, expresada en términos
de masa por unidad de longitud y si δ es continua, entonces ∆mk es aproximadamente
igual a dsxkd ¢xk (masa por unidad de longitud por longitud):
Combinando estas tres observaciones se obtiene
x L
momento del sistema L a xk ¢mk.
momento del sistema
masa del sistema
¢mk L dsxkd ¢xk.
La suma en el último numerador de la ecuación (2) es una suma de Riemann para la función
continua xdsxd en el intervalo cerrado [a, b]. La suma en el denominador es una suma
de Riemann para la función dsxd en ese intervalo. Esperaríamos que la aproximación obtenida
con la ecuación (2) mejore conforme la franja sea dividida en partes cada vez más
pequeñas, lo cual nos conduce a la ecuación
x = La
L a xk ¢mk
a ¢mk
Ésta es la fórmula que utilizamos para determinar x.
b
La
b
xdsxd dx
dsxd dx
Demostrar que el centro de masa de una varilla o de una franja recta y delgada de densidad
constante se encuentra en su punto medio.
Solución Modelamos la franja como una parte del eje x desde x = a hasta x = b (figura
6.30). Nuestra meta es demostrar que x = sa + bd>2, el punto medio entre a y b.
.
L a xk dsxkd ¢xk
a dsxkd
.
¢xk
Momento, masa y centro de masa de una varilla delgada o de una franja a lo
largo del eje x con función de densidad Dsxd
Momento con respecto al origen: M0 =
La
Masa: M =
La
Centro de masa: x = M0
M
b
b
xdsxd dx
dsxd dx
(3a)
(3b)
(3c)
(2)