Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

664 Capítulo 9: Aplicaciones adicionales de integración
EJERCICIOS 9.3
Cálculo de aproximaciones de Euler
En los ejercicios 1 a 6, utilice el método de Euler para calcular las primeras
tres aproximaciones al problema de valor inicial dado, para el
tamaño de incremento dado. Calcule la solución exacta e investigue la
precisión de sus aproximaciones. Redondee sus resultados a cuatro
decimales.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7. Utilice el método de Euler con dx = 0.2 para estimar y(1), si
y ¿Cuál es el valor exacto de y(1)?
8. Utilice el método de Euler con dx = 0.2 para estimar y(2), si
y ¿Cuál es el valor exacto de y(2)?
9. Utilice el método de Euler con dx = 0.5 para estimar y(5), si
y ¿Cuál es el valor exacto de y(5)?
10. Utilice el método de Euler con dx = 1/3 para estimar y(2), si
y¿ =y - e y ys0d = 1. ¿Cuál es el valor exacto de y(2)?
2x
y¿ =y ys1d = -1.
2 y¿ =y + e
y¿ =y ys0d = 1.
y¿ =y>x ys1d = 2.
> 2x
x y¿ =2xe
- 2, ys0d = 2, dx = 0.5
x2
y¿ =y
, ys0d = 2, dx = 0.1
2 y¿ =1 -
y¿ =xs1 - yd, ys1d = 0, dx = 0.2
y¿ =2xy + 2y, ys0d = 3, dx = 0.2
s1 + 2xd, ys -1d = 1, dx = 0.5
y
x , ys2d = -1, dx = 0.5
T
T
T
T
Método de Euler mejorado
En los ejercicios 11 y 12, use el método de Euler mejorado para calcular
las primeras tres aproximaciones al problema de valor inicial. Compare
las aproximaciones con los valores de la solución exacta.
11. y¿ =2ysx + 1d, ys0d = 3, dx = 0.2
(Vea el ejercicio 3 para la solución exacta).
12. y¿ =xs1 - yd, ys1d = 0, dx = 0.2
(Vea el ejercicio 2 para la solución exacta).
EJEMPLO 4 Revisión del tanque de almacenamiento en una refinería
En el ejemplo 6, sección 9.2, vimos un problema que incluía un depósito de gasolina de
2000 galones, al que entraba una mezcla de aditivo, la cual se bombeaba simultáneamente.
El análisis produjo el problema de valor inicial
dy
dt
= 80 -
45y
, ys0d = 100
2000 - 5t
en donde y(t) es la cantidad de aditivo que hay en el tanque en el instante t. En ese ejemplo
se pidió encontrar y(20). Por medio del método de Euler con un incremento de dt = 0.2 (o
100 pasos), se obtienen las aproximaciones
ys0.2d L 115.55, ys0.4d L 131.0298, Á
efinalizando con ys20d L 1344.3616. El error relativo a la solución exacta ys20d = 1342,
es aproximadamente de 0.18%.
EXPLORACIONES CON COMPUTADORA
Método de Euler
En los ejercicios 13 a 16, utilice el método de Euler con el tamaño de
paso especificado para estimar el valor de la solución en el punto dado,
x * . Determine el valor de la solución exacta en x * .
13.
14.
15.
16.
En los ejercicios 17 y 18, (a) determine la solución exacta del problema
de valor inicial. Luego compare la precisión de la aproximación
con y(x * ) usando el método de Euler e iniciando en x 0 con el tamaño
del paso (b) 0.2, (c) 0.1 y (d) 0.05.
17.
18.
y¿ =2xe x2,
ys0d = 2, dx = 0.1, x * = 1
y¿ =y + e x - 2, ys0d = 2, dx = 0.5, x * = 2
y¿ =2x>y, y 7 0, ys0d = 1, dx = 0.1, x * = 1
y¿ =1 + y 2 , ys0d = 0, dx = 0.1, x * = 1
y¿ =2y 2 sx - 1d, ys2d = -1>2, x0 = 2, x * = 3
y¿ =y - 1, ys0d = 3, x0 = 0, x * = 1
Método de Euler mejorado
En los ejercicios 19 y 20, compare la precisión de la aproximación con
y(x * ) usando el método de Euler mejorado, comenzando en x 0 con tamaño
del paso
a. 0.2 b. 0.1 c. 0.05
19.
d. Describa qué le sucede al error cuando disminuye el tamaño
del paso.
(Vea el ejercicio 17 para obtener la solución exacta).
20. y¿ =y - 1, ys0d = 3, x0 = 0, x * y¿ =2y
= 1
2 sx - 1d, ys2d = -1>2, x0 = 2, x * = 3
(Vea el ejercicio 18 para obtener la solución exacta).