Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

58.
a. Sea P=1>2. Demuestre que ninguna posible d 7 0 satisface
la condición siguiente:
Para toda x, 0 6 ƒ x - 1 ƒ 6 d Q ƒƒsxd - 2 ƒ 6 1>2.
Esto es, para cada d > 0, compruebe que hay un valor de x tal
que
Esto probará que límx:1 ƒsxd Z 2.
b. Demuestre que límx:1 ƒsxd Z 1.
c. Compruebe que límx:1 ƒsxd Z 1.5.
x
Sea hsxd = •
2 , x 6 2
3, x = 2
2, x 7 2.
Compruebe que
a. lím hsxd Z 4
x:2
b. lím hsxd Z 3
x:2
c. lím hsxd Z 2
x:2
59. A partir de la función cuya gráfica se muestra aquí, explique por
qué
a.
b.
c.
0 6 ƒ x - 1 ƒ 6 d y ƒƒsxd - 2 ƒ Ú 1>2.
4
3
2
1
y
lím ƒsxd Z 4
x:3
lím ƒsxd Z 4.8
x:3
lím ƒsxd Z 3
x:3
0 2
4.8
4
3
y
y x 2
0 3
y h(x)
y 2
x
y f(x)
x
2.3 La definición formal de límite 101
60. a. A partir de la función cuya gráfica se muestra aquí, demuestre
que límx : -1 gsxd Z 2.
b. ¿Existirá límx : -1 gsxd? Si es el caso, ¿cuál es el valor del límite?
Si no existe, explique por qué.
y g(x)
1 0
EXPLORACIONES CON COMPUTADORA
En los ejercicios 61 a 66, usted explorará con más detalle la determinación
gráfica de delta. Use un software matemático para realizar los
pasos siguientes:
a. Grafique la función y = f(x) cerca del punto x0 al que se quiere
aproximar.
b. Suponga cuál es el valor del límite L, y después evalúe simbólicamente
el límite para ver si su suposición es correcta.
c. Utilizando el valor P=0.2, trace en la misma gráfica las rectas
de la banda y1 = L -Py
y2 = L +Pjunto
con la función f cerca
de x0.
d. A partir de la gráfica obtenida en el inciso (c), estime una d 7 0
tal que para toda x
0 6 ƒ x - x0 ƒ 6 d Q ƒƒsxd - L ƒ 6P.
Compruebe su estimación graficando ƒ, y1 y y2 en el intervalo
0 6 ƒ x - x0 ƒ 6 d. Use x0 - 2d … x … x0 + 2d y L - 2P
… y … L + 2P para establecer el tamaño de su pantalla de visualización.
Si algún valor de la función está fuera del intervalo
[L -P, L +P], significa que eligió una d demasiado grande.
Inténtelo nuevamente con una estimación menor.
e. Repita sucesivamente los pasos indicados en los incisos (c) y (d)
para y 0.001.
61.
62.
63.
64.
65.
66. ƒsxd = 3x2 ƒsxd =
- s7x + 1d2x + 5
, x0 = 1
x - 1
23 x - 1
x - 1 , x0
xs1 - cos xd
ƒsxd = x - sen x
= 1
, x0
sen 2x
ƒsxd =
3x
= 0
, x0
ƒsxd =
= 0
5x3 + 9x2 2x5 + 3x2 , x0
ƒsxd =
= 0
x4 - 81
x - 3 , x0
P=0.1, 0.05
= 3
2
1
y
x