Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

282 Capítulo 4: Aplicaciones de las derivadas
dt/dx
negativo
dt/dx
cero
0
x0 d
FIGURA 4.38 El patrón de signos de
dt>dx
del ejemplo 4.
dt/dx
positivo
El tiempo de A a B es la suma de ambas trayectorias:
Esta ecuación expresa a t como una función diferenciable de x, cuyo dominio es [0, d].
Queremos encontrar el valor mínimo absoluto de t en este intervalo cerrado. Encontramos
la derivada
En términos de los ángulos ángulos u1 y u2 en la figura 4.37,
Si restringimos x al intervalo 0 … x … d, tiene derivada negativa en x = 0 y derivada positiva
en x = d. De acuerdo con el teorema del valor intermedio para derivadas (sección
3.1), existe un punto x0 H [0, d] donde dt>dx = 0 (figura 4.38). Solo hay uno de tales pun-
x
tos, porque dt>dx es una función creciente de x (ejercicio 54). En este punto
Esta ecuación es la ley de Snell o ley de refracción, y es un principio importante en la teoría
de la óptica, toda vez que describe la trayectoria que sigue un rayo de luz.
Ejemplos de economía
t = t1 + t2 = 2a2 + x 2
dt
dx =
x
c12a 2 d - x
-
2
+ x c22b 2 .
2
+ sd - xd
dt
dx
En estos ejemplos señalamos dos maneras en las que el cálculo hace una contribución a la
economía. La primera tiene que ver con la maximización de la utilidad. La segunda tiene
que ver con la minimización del costo promedio.
Supongamos que
rsxd = ingreso por vender x artículos
csxd = costo por producir x artículos
psxd = rsxd - csxd = utilidad por producir y vender x artículos.
El ingreso marginal, el costo marginal y la utilidad marginal por producir y vender x
artículos son
dr
dx
dc
dx
dp
dx
c1
= sen u1
c1
sen u1
c1
= sen u2
c2
.
= ingreso marginal
= costo marginal
= utilidad marginal
La primera observación se refiere a la relación de p con estas derivadas.
Si r(x) y c(x) son funciones diferenciables para toda x 7 0, y si psxd = rsxd - csxd
tiene un valor máximo, se alcanza en un nivel de producción en el que p¿sxd = 0. Como
p¿sxd = r¿sxd - c¿sxd, p¿sxd = 0 implica que
r¿sxd - c¿sxd = 0 o r¿sxd = c¿sxd.
- sen u2
+ 2b 2 + sd - xd2 c2
.
c2
.