Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

Antes de probar el teorema 4, veamos varios ejemplos para entender mejor lo que
dice.
EJEMPLO 3 Aplicación del teorema fundamental
Usar el teorema fundamental para encontrar
(a)
(b)
(c)
(d)
d
dx
Solución
L0
x
d
cos t dt
dx La
x
1
dt 2 1 + t
dy
dx si y = x
L
2
dy
dx
cos t dt
1
si y = 5
3t sen t dt
Lx
(a) Ecuación 2 con
(b)
1
Ecuación 2 con ƒstd =
1 + t
(c) La regla 1 para integrales de la tabla 5.1, sección 5.3, establece esto para el teorema
fundamental.
2
x
d 1 1
dt =
dx
2
L0
1 + t 1 + x2 x
d
cos t dt = cos x
dx La
ƒ(t) = cos t
dy
dx
= d
dx
5
3t sen t dt =
Lx
d
dx a- 3t sen t dtb
L5
Regla 1
(d) El límite de integración superior no es x, sino x Esto hace que y sea una composición
de dos funciones,
2 =-
= -3x sen x
.
d
3t sen t dt
dxL5 y =
L1
u
Por lo tanto, debemos aplicar la regla de la cadena cuando encontremos dy>dx.
dy
dx
cos t dt y u = x 2 .
dy
= # du
du dx
= a d
duL1 5.4 El teorema fundamental del cálculo 359
u
= cos u # du
dx
= cossx 2 d # 2x
= 2x cos x 2
x
x
cos t dtb # du
dx