Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

36 Capítulo 1: Preliminares
Comparemos la ley de Kepler con los datos de la tabla 1.3, tomados de un almanaque
mundial publicado en 1993.
TABLA 1.3 Periodos orbitales y distancias medias
de los planetas al Sol
T RDistancia media
Planeta Periodo (días) (miles de millones)
Mercurio 88.0 36
Venus 224.7 67.25
Tierra 365.3 93
Marte 687.0 141.75
Júpiter 4,331.8 483.80
Saturno 10,760.0 887.97
Urano 30,684.0 1,764.50
Neptuno 60,188.3 2,791.05
Plutón 90,466.8 3,653.90
El principio gráfico de este ejemplo puede ser nuevo para usted. Para trazar la gráfica
de T contra primero calculamos el valor de para cada valor de la tabla 1.3. Por
ejemplo, y El eje horizontal representa (no los
valores de R) y graficamos los pares ordenados en el plano cartesiano como se
muestra en la figura 1.49. La graficación de los pares ordenados, o diagrama de dispersión,
nos da una representación gráfica del periodo contra la distancia media elevada a la
potencia 3/2. Observe que el diagrama de dispersión ilustrado en la figura está, aproximadamente,
a lo largo de la recta que pasa por el origen. Tomando dos puntos que estén en dicha
recta podemos estimar con facilidad la pendiente, que es la constante de proporcionalidad
(en días por millas *10 ). -4
sR3>2 R
, Td
3>2
363>2 3653.90 = 216.
3>2 R
L 220,869.1
3>2
R3>2 k = pendiente =
90, 466.8 - 88
220,869.1 - 216
L 0.410
Estimamos que el modelo de la Tercera Ley de Kepler es T = 0.410R (el resultado depende
de las unidades que decidamos utilizar). Es preciso que seamos cautos y puntualicemos
que ésta no es una prueba de la Tercera Ley de Kepler. No podemos probar o verificar
3>2
Periodo (días)
90,000
60,000
30,000
T
0
0 80,000 160,000 240,000
(Millas 10 4 )
FIGURA 1.49 Gráfica de la tercera ley de Kepler como
una proporcionalidad: T = 0.410R (ejemplo 3).
3>2
R 3/2