Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

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506 Capítulo 7: Funciones trascendentes cen hincapié en el hecho de que y decrece. Si y 0 es el número de núcleos radiactivos presentes en el instante cero, su número en cualquier instante posterior t será EJEMPLO 3 Vida media de un elemento radiactivo La vida media de un elemento radiactivo es el tiempo que se requiere para que la mitad de los núcleos de una muestra del mismo se desintegren. Resulta interesante mencionar que la vida media es una constante que no depende del número de núcleos radiactivos que había al principio en la muestra, sino de la sustancia radiactiva de que se trate. Para comprender por qué, sea y0 el número de núcleos radiactivos al principio en la muestra. Entonces, el número y de núcleos en cualquier instante t será y = y0 Busca- e -kt . mos el valor de t en el que el número de núcleos radiactivos presentes sea igual a la mitad del número original: Regla del recíproco para logaritmos Este valor de t es la vida media del elemento. Depende únicamente del valor de k; el número y 0 no ejerce ninguna influencia. EJEMPLO 4 Vida media del polonio 210 La vida efectiva de radiactividad del polonio 210 es tan breve que se mide en días en lugar de hacerlo en años. En una muestra que inicialmente tenía y 0 átomos radiactivos, el número de átomos radiactivos restantes, al cabo de t días, es Determine la vida media del elemento. Solución Vida media = EJEMPLO 5 Fechado con carbono 14 y = y0 e -kt , k 7 0. y0 e -kt = 1 2 y0 e -kt = 1 2 -kt = ln 1 2 t = Vida media = y = y0 e-5* 10-3 t . = ln 2 k ln 2 k ln 2 5 * 10 -3 L 139 días = -ln 2 Ecuación (7) En ocasiones, el decaimiento de elementos radiactivos puede utilizarse para fechar hechos ocurridos en el pasado de la Tierra. En un organismo vivo, la razón de carbono radiactivo, carbono 14, a carbono ordinario permanece constante durante su vida, siendo aproximada- ln 2 k La k de la ecuación de decaimiento del polonio (7)
7.5 Crecimiento y decaimiento exponenciales 507 mente igual a la razón del entorno del organismo en su época. Sin embargo, al morir el organismo ya no ingiere carbono 14, y la proporción de dicho elemento en sus restos disminuye conforme decae. Para el fechado con carbono 14, los científicos emplean la cifra de 5700 años como vida media (en los ejercicios veremos más acerca del fechado con carbono 14). Determinar la edad de una muestra en la que 10% del núcleo radiactivo original se ha desintegrado. Solución Utilizamos la ecuación de decaimiento Debemos determinar dos cosas: el valor de k y el valor de t cuando y es 0.9y0 (aún se conserva 90% de los núcleos radiactivos). Esto es, determinamos t cuando o e -kt y0 = 0.9. e -kt y = y0 = 0.9y0, e -kt . Valor de k: Utilizamos la ecuación (7) para determinar la vida media: k = Valor de t que hace e -kt = 0.9: - ln 2 ln 2 vida media La muestra tiene una antigüedad de aproximadamente 866 años. Transferencia de calor: ley de enfriamiento de Newton Tomamos logaritmos en ambos lados Cuando se deja sopa en un tazón metálico, ésta se enfría hasta llegar a la temperatura ambiente. Un lingote de plata caliente sumergido en agua se enfría hasta alcanzar la temperatura del líquido. En situaciones como éstas, la velocidad a la que la temperatura de un objeto cambia en cualquier instante es casi proporcional a la diferencia entre su temperatura y la temperatura del medio que lo rodea. Aunque también se aplica al fenómeno de calentamiento, esta observación se denomina ley de enfriamiento de Newton y hay una ecuación para ella. Si H es la temperatura del objeto en el instante t y H MA es la temperatura constante del medio ambiente, la ecuación diferencial es Si sustituimos y por (H <strong>–</strong> H MA), entonces dy dt e -kt = 0.9 e -sln 2>5700dt = 0.9 t = ln 0.9 5700 t =- d = dt sH - HMAd = dH dt = dH dt = ln 2 5700 salrededor de 1.2 * 10 -4 d 5700 ln 0.9 ln 2 dH dt - 0 = = -ksH - HSd = -ky. dH dt L 866 años. = -ksH - HMAd. - d dt sHMAd HMA es constante Ecuación (8) H - HMA = y. (8)
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THOMAS CÁLCULO UNA VARIABLE UNDÉC
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CÁLCULO UNA VARIABLE U N D É C I
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CONTENIDO Prefacio ix Volumen I 1 P
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PREGUNTAS DE REPASO 461 EJERCICIOS
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13 Funciones con valores vectoriale
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PREFACIO INTRODUCCIÓN Al preparar
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FIGURA 6.11, página 402 Determinac
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Agradecimientos COURSECOMPASS Cours
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Agradecemos a todos los profesores
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1.1 Capítulo 1 PRELIMINARES INTROD
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Las expansiones decimales finitas r
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-5 5 3 -5 0 3 4 1 1 4 3 1 4 FI
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1 2 (a) 1 2 (b) FIGURA 1.4 Los conj
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1.2 Eje y positivo Eje x negativo E
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6 L2 4 3 2 1 0 1 y y P 1 (0, 5) P 1
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y L 2 Pendiente m1 1 C 1 h L 1 Pend
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(-1, 1) 1 (1, 1) -2 (-2, 4) -1 4 y
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Incrementos y movimiento 37. Una pa
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96. La distancia entre un punto y u
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x -2 4 -1 1 0 0 1 1 3 2 y x 2 9 4
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TABLA 1.2 Datos del diapasón Tiemp
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ƒsxd = x + 1 Modelos matemáticos
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1.5 Combinación de funciones; tras
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1.5 Combinación de funciones; tras
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5 4 3 2 1 y dilatar comprimir y 3x
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EJERCICIOS 1.5 Sumas, restas, produ
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En los ejercicios 19-28 se establec
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2 Grados Radianes 45 45 90 1 30 1 2
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SE sen pos. TA tan pos. y TO todos
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Periodos de las funciones trigonom
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Transformaciones de las gráficas t
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1.7 Graficación con calculadoras y
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-12 podría producir un segmento de
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Biomasa 250 200 150 100 50 y 0 1 2
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T T T c. Superponga la gráfica de
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Capítulo 1 Ejercicios adicionales
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2.1 Capítulo 2 LÍMITES Y CONTINUI
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0 y P(x 1 , f(x 1 )) x 1 Secante Q(
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Desde el punto de vista geométrico
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x 0 (a) Función identidad k 0 y y
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20. Sea ƒsxd = s3 a. Haga una tabl
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Es fácil convencernos de que las p
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2 3 0 3 2 0 y (a) y (b) y (1, 3) x
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EJERCICIOS 2.2 Cálculo de límites
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Teoría y ejemplos 53. Si para x en
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L 1 10 L L 1 10 0 y y f(x) x 0 L
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k k k y 0 x0 x0 x0 y k FIG
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¿A qué se debe que sea correcto s
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13. 14. Determinación algebraica d
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58. a. Sea P=1>2. Demuestre que nin
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2 y y 4 x 2 0 2 FIGURA 2.23 lím
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1 O y u 1 cos u Q ⎧ ⎪ ⎪ ⎪
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4 3 2 1 y 1 x y 1 0 1 1 2 3 4 FIGU
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2 1 y 5 0 5 10 1 2 y 5x2 8x 3 3x
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7. a. Grafique b. Encuentre y límx
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2.5 B y Límites infinitos y asínt
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B 0 y x 0 y f(x) x 0 d x 0 d FIG
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Asíntota vertical x 2 4 3 2 y 8 7
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2.5 Límites infinitos y asíntotas
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Creación de gráficas a partir de
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2 y y 4 x 2 2 0 2 FIGURA 2.52 Una
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0 y y 1 x FIGURA 2.56 La función
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0.4 0.3 0.2 0.1 2p p p 0 y 2p FIGUR
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3 2 1 0 y 1 2 3 4 FIGURA 2.61 La fu
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O P FIGURA 2.63 L es tangente al c
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0 y h y f(x) Q(x 0 h, f(x 0 h))
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Razones de cambio: derivada en un p
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No habiendo tangente vertical en x
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4. Suponga que f(x) y g(x) están d
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h (b) r 6 cm Volumen del líquido
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3.1 ENSAYO HISTÓRICO La derivada C
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Muchas veces es necesario conocer l
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Pendiente 0 A A' 10 5 B 4 unidades
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0 y y ⏐x⏐ y' -1 y' 1 y' no es
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1 0 y y U(x) FIGURA 3.7 La funció
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. Grafique la derivada de f. La gr
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EXPLORACIONES CON COMPUTADORA Use u
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tenemos EJEMPLO 9 Dos métodos para
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3.3 La derivada como razón de camb
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Distancia (pies) 800 700 s 3.3 La d
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t (segundos) t 0 t 1 t 2 t 3 s
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1 y 0 1 1 y' 0 1 y cos x x y'
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3.4 Derivadas de funciones trigonom
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En los ejercicios 37 y 38, determin
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La única falla en este razonamient
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sen n x significa ssen xd n , n Z -
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Encontrar d en términos de t 1. Ex
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Identifique la trayectoria de la pa
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112. (Continuación del ejercicio 1
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y y = 1 2 c-ƒsxd ; 2-3 a 3 x - C 3
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EJERCICIOS 3.6 Derivadas de potenci
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69. Normal que interseca ¿En qué
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Obser vador Globo d 0.14 rad/min d
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dy ? dt cuando y 6 pies dV dt 9
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y(t) y 0 14. Tránsito aéreo comer
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Automóvil Cámara 132' 33. Una cap
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Una aproximación lineal importante
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dr 0.1 a 10 A ≈ dA 2a dr FIGUR
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ferenciable de x. Con mayor precisi
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EJERCICIOS 3.8 Determinación de li
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Capítulo 3 Preguntas de repaso 1.
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66. a. Grafique la función b. ¿ f
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c. ¿Cómo se relaciona dS>dt con d
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. Encuentre los valores para b y c
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26. Regla de Leibniz para derivadas
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA Daniel Bernou
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Mínimo absoluto No hay un valor me
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(c) Una solución intermedia 12 mil
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. Use el teorema de Rolle para prob
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Función decreciente y y x 2 Funci
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4.3 Funciones monótonas y el crite
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y'' 0 -1 2 1 0 y y x 4 1 FIGURA 4
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4.4 Concavidad y trazado de curvas
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Teoría y ejemplos 53. Una desigual
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Precaución Para aplicar la regla d
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y x 2 3 C C 1 C 0 1 0 -1 -2 y (
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T b. Suponga que la posición s del
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4. Encuentre los valores de a y b t
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Tanque lleno, parte superior h y 0
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EJEMPLO 2 Estimación de la altura
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Área EJERCICIOS 5.1 Resumen En los
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Control de la contaminación 19. Co
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EJEMPLO 2 Uso de diferentes valores
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Límites de sumas finitas Las aprox
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El ancho del primer subintervalo [x
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Exprese las sumas de los ejercicios
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cambiaría, así como el signo del
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En resumen, todas las sumas de Riem
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Uso de las propiedades y los valore
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78. Sumas superior e inferior para
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5.5 Las integrales indefinidas y la
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Demostración Sea F cualquier antid
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA Richard Dedek
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86. Los paracaidistas A y B están
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Regla de Leibniz En las aplicacione
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y 0 45° x -3 29 x 2 x 3 x ⎛ ⎝
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6.2 Cálculo de volúmenes por medi
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12. y = 3> A22xB, y = 0, x = 1, x =
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1 0 y ⎛x y ⎝2 2/3 , 0 x 2
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T EJERCICIOS 6.3 Longitudes de curv
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(a) 6.4 Momentos y centro de masa 4
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Densidad La densidad de la materia
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0 y x y c.m. x x Línea de equilib
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Cómo determinar el centro de masa
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y a 2 x 2 -a 0 a y (a) a c.m. -a
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punto que está a un tercio de la d
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d y c 0 y L(y) FIGURA 6.54 La regi
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Determinación de áreas de superfi
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c. Demuestre que el área de la sup
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Fuerza (lb) F 0 Sin comprimir 4 F x
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389 pies Cuarto de circunferencia d
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9. Ascensión del cable de un eleva
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dx dx 7. 8. L 1x s 1x + 1d L x - 1x
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8.2 Integración por partes Como y
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tenemos cuatro posibles opciones: 1
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1 0.5 -1 0 -0.5 -1 y y xe -x 1 2 3
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Los ejercicios adicionales, al fina
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Sustitución e integración por par
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8.3 Integración de funciones racio
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Hay varias formas de resolver el si
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Sustituimos estos valores en la ecu
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EJEMPLO 7 Integración con el méto
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EJERCICIOS 8.3 8.3 Integración de
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c. Grafique la función y = para 0
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Para el término que incluye a cos
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EJERCICIOS 8.4 y Productos de senos
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x tan a -1 -1 -1 2 - 2 2 - 2
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5x 25x 2 4 2 FIGURA 8.6 Si entonc
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8.6 8.6 Tablas de integrales y sist
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Solución Utilizamos la fórmula 99
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Con n = 3 y a = 1, tenemos El resul
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También se puede hallar la integra
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Sustitución y tablas de integrales
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111. a. Utilice un software matemá
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y y x 2 1 0 1 25 16 5 4 36 16 6 4
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2 1 y y x sen x 0 1 2 FIGURA 8.12
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA Thomas Simpso
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gular no podemos determinar el valo
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146 pies 122 pies 76 pies 54 pies 4
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28. Abastecimiento de un estanque d
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Utilice las funciones Trace o Zoom
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Área de una superficie Determine,
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA Lejeune Diric
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1 0 y a y 1 x Área 2 2a 1 FIGUR
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Solución L2 q x + 3 sx - 1dsx 2 dx
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1 y y e -x2 (1, e -1 ) 0 1 b y e
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1 0 y y 1 1 x 2 1 y 1 x 2 FIGURA
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EJERCICIOS 8.8 Evaluación de integ
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T a. Dibuje la gráfica de f. Deter
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43. 44. L sen3 u cos2 u sen3 du u d
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Integrales impropias Evalúe las in
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T 24. Determinación de un volumen
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o ≠sxd L a x e b x 2p A x e 1>s12
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9.1 Campos de pendientes y ecuacion
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9.1 Campos de pendientes y ecuacion
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FIGURA 9.4 La razón a la que sale
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-4 -4 -4 19. y¿ =x + y 20. y¿ =y
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9.2 Ecuaciones diferenciales lineal
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9.2 Ecuaciones diferenciales lineal
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i I V R I e 0 L R L 2 R i (1 eRt
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EJERCICIOS 9.2 Ecuaciones lineales
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31. Constantes de tiempo Al número
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Después se calculan las aproximaci
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA Carl Runge (1
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Exploración gráfica de ecuaciones
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2 y 1 2 0 -1 y' 0 y'' 0 y' 0 y''
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F r ky m F p mg y positiva y 0 F
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EJERCICIOS 9.4 Líneas de fase y cu
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9.5 9.5 Aplicaciones de ecuaciones
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6000 5000 P Población mundial (198
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M 100 50 0 P FIGURA 9.25 Un campo
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Trayectoria ortogonal FIGURA 9.28 U
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TABLA 9.8 Datos del patinaje de Kel
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T 34. Euler: En los ejercicios 35 y
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RESPUESTAS CAPÍTULO 1 Sección 1.1
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7. (a) No es una función de x, ya
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9. (a) ƒ(g(x)) (b) j(g(x)) (c) g(g
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7. cos x = -4>5, tan x = -3>4 9. 11
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37. 39. 41. (a) (b) m = 1059.14; é
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11. (a) ƒsxd = sx 2 - 9d>sx + 3d x
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35. 37. 4 y = x = x + 1 - 2 - 4 3 x
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Ejercicios adicionales y avanzados,
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(c) El cuerpo cambia de dirección
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55. (a) y = 2px - 2p, (b) 57. Punto
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121. 123. dS = prh0 2r 125. (a) 4%
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La función ƒsxd = x tiene un punt
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17. y 19. 21. y 23. Máx loc (0, 0)
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91. (b) de manera positiva si k 6 0
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87. y = 2x 89. 3>2 - 50 91. 93. (a)
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7. Todas ellas 9. b 11. 13. a k = 1
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Ejercicios prácticos, páginas 388
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Ejercicios de práctica, páginas 4
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13. 15. 17. 19. 21. 23. 25. 27. 29.
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Capítulo 8: Respuestas R-39 ƒ ƒ
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Capítulo 8: Respuestas R-41 17. 19
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71. 1 2 Az2z2 + 1 + ln ƒ z + 2z 2
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3. 5. (b) (c) y¿ =y 3 - y = s y +
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Ejercicios prácticos, páginas 682
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I-2 Índice Calculadoras, graficaci
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I-4 Índice Desplazamiento, 172, 17
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I-6 Índice implícitamente, 205-20
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I-8 Índice Leyes de los exponentes
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I-10 Índice Problema de primer ord
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I-12 Índice en integrales múltipl
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Fórmulas para Grad, Div, Espiral y
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Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

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