Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

152 Capítulo 3: Derivadas
Concentración mg/dL
Razón de cambio de la concentración mg/dL
h
110
100
90
80
y
0 1 2 3
Tiempo (h)
4 5 6
15
10
5
–5
–10
y'
(a)
0 1 2 3 4 5 6
Tiempo (h)
(b)
h→0
Pendiente
f(b h) f(b)
lím
h→0 h
Pendiente
f(a h) f(a)
lím
h
y f(x)
a a h b h b
h 0 h 0
FIGURA 3.5 Las derivadas en los puntos
extremos son límites laterales.
x
t
t
Diferenciabilidad en un intervalo; derivadas laterales
En un intervalo abierto (finito o infinito), una función y = f(x) es diferenciable si tiene derivada
en cada punto del intervalo. Es diferenciable en un intervalo cerrado [a, b] si es diferenciable
en el interior de (a, b) y si los límites
Derivada en a por la derecha
Derivada en b por la izquierda
existen en los extremos (figura 3.5).
Las derivadas por la derecha y por la izquierda pueden definirse en cualquier punto
del dominio de la función. La relación usual entre el límite y los límites laterales se cumple
para estas derivadas. De acuerdo con el teorema 6 de la sección 2.4, una función tiene
derivada en un punto, si y sólo si, tiene derivadas por la derecha y por la izquierda en ese
punto, y si estas derivadas laterales son iguales.
EJEMPLO 5 y = ƒ x ƒ no es diferenciable en el origen
Demostrar que la función y = |x| es diferenciable en s - q, 0d y s0, q d pero no tiene derivada
en x = 0.
Solución A la derecha del origen,
A la izquierda,
FIGURA 3.4 (a) Gráfica de la concentración de azúcar en la sangre de un piloto del
Daedalus durante las pruebas de resistencia, 6 horas antes al vuelo. (b) La derivada de
la concentración de azúcar en la sangre del piloto muestra qué tan rápido se eleva y cae la
concentración durante varias partes de la prueba.
▼
GRECIA
Atenas
Mar
Mediterráneo CRETA
ƒsa + hd - ƒsad
lím+
h:0 h
ƒsb + hd - ƒsbd
lím-
h:0 h
SANTORINI
Mar Egeo
Mar de Creta
Heraclion
Trayectoria del vuelo del Daedalus el 23 de abril de 1988
d
dx s ƒ x ƒ d = d d
sxd =
dx dx s1 # xd = 1.
d
dx s ƒ x ƒ d = d d
s -xd =
dx dx s -1 # xd = -1
d
smx + bd = m, ƒ x ƒ = x
dx
ƒ x ƒ = -x
TURQUÍA
RODAS
0 50 100 150
km