Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

108 Capítulo 2: Límites y continuidad
y e
y
N 1 e
0
Sin importar qué
número positivo sea e
la gráfica entra
y 1 x
en esta banda en x
y ahí se queda
1 e
Sin importar qué
número positivo sea e
la gráfica entra
en esta banda en x
y ahí se queda
M 1 e
y e
FIGURA 2.32 La geometría detrás del
argumento del ejemplo 6.
e
e
1 e
x
Los hechos básicos que debemos verificar al aplicar la definición formal, son
A continuación probaremos esta última afirmación, y dejaremos la comprobación de la
primera para los ejercicios 71 y 72.
EJEMPLO 6 Los límites al infinito para ƒsxd = 1 x
Probar que
lím k = k y lím
x: ;q x: ;q 1 x
(a) (b)
lím
x: q 1 x = 0
lím
x: -q 1 x
= 0.
= 0.
Solución
(a) Sea P70 dada. Debemos encontrar un número M tal que para toda x
x 7 M Q ` 1 x - 0 ` = ` 1 x ` 6P.
Esta implicación se satisface si M = 1>P o a cualquier número positivo mayor (figura
2.32). Esto prueba que límx:q s1>xd = 0.
(b) Sea P70 dada. Debemos encontrar un número N tal que para todo x
x 6 N Q ` 1 x - 0 ` = ` 1 x ` 6P.
Esta implicación se satisface si N = -1>P o a cualquier número menor que -1>P (figura
2.32). Esto prueba que límx:-q s1>xd = 0.
Los límites al infinito tienen propiedades similares a las de los límites finitos.
TEOREMA 8 Leyes de los límites cuando
Si L, M y k son números reales y
1. Regla de la suma:
2. Regla de la diferencia:
3. Regla del producto:
4. Regla del múltiplo constante:
lím
x: ;q
lím
x: ;q
x : — ˆ
lím ƒsxd = L y lím gsxd = M, entonces
x: ;q x: ;q
sƒsxd + gsxdd = L + M
sƒsxd - gsxdd = L - M
lím
x: ;q sk lím
x: ;q
# ƒsxdd = k # L
sƒsxd # gsxdd = L # M
5. Regla del cociente:
lím
x: ;q
6. Regla de la potencia: Si r y s son enteros sin factores comunes, s Z 0, entonces
ƒsxd L
= , M Z 0
gsxd M
siempre y cuando L r/s lím
x: ;q
sea un número real. (Si s es par, damos por hecho que L > 0).
sƒsxddr>s = Lr>s (3)