Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

31. Constantes de tiempo Al número del circuito RL de la figura
9.6, los ingenieros le llaman constante de tiempo. El significado
de la constante de tiempo es que la corriente alcanzará
95% de su valor final dentro de 3 constantes de tiempo a partir de
que el circuito se cierra (figura 9.6). De esta manera, la constante
de tiempo proporciona una medida de qué tan rápido alcanzará su
equilibrio un circuito.
a. Determine el valor de i en la ecuación (7) que corresponda a
, y demuestre que es alrededor de 95% del valor es-
L>R
t = 3L>R
tacionario I = V>R.
b. ¿Aproximadamente qué porcentaje de la corriente en estado
estacionario fluirá en el circuito 2 constantes de tiempo a partir
de que se cierre el interruptor (digamos, cuando t = 2L>R)?
32. Deducción de la ecuación (7) del ejemplo 5
a. Demuestre que la solución de la ecuación
es
V
R
0
i
I
e
L
R
L
2
R
di
dt
L
3
R
R V
+ i =
L L
i = V
R + Ce -sR>Ldt .
b. Después utilice la condición inicial i(0) = 0 para determinar el
valor de C. Esto completa la deducción de la ecuación (7).
9.3
BIOGRAFÍA HISTÓRICA
Leonhard Euler
(1703-1783)
Método de Euler
t
9.3 Método de Euler 659
Si no se necesita o no se puede determinar una solución exacta para un problema de valor
inicial y¿ =ƒsx, yd, ysx0d = y0,
con frecuencia podemos utilizar una computadora para
generar una tabla de valores numéricos aproximados de y para valores de x en un intervalo
apropiado. Tal tabla se denomina solución numérica del problema, y el método por medio
del cual la generamos se llama método numérico. Por lo general, los métodos numéricos
son rápidos y precisos, y suelen representar una alternativa útil cuando las fórmulas exactas
no son necesarias, no están disponibles o son demasiado complicadas. En esta sección
estudiaremos uno de esos métodos numéricos, denominado método de Euler, en el cual se
basan muchos otros del mismo tipo.
Método de Euler
c. Demuestre que es una solución de la ecuación (6) y
que i = Ce satisface la ecuación
di R
+ i = 0.
dt L -sR>Ldt
i = V>R
BIOGRAFÍA HISTÓRICA
James Bernoulli
(1654-1705)
Una ecuación diferencial de Bernoulli tiene la forma
Observe que, si n = 0 o 1, la ecuación de Bernoulli es lineal.
Para otros valores de n, la sustitución transforma la
ecuación de Bernoulli en la ecuación lineal
Por ejemplo, en la ecuación
tenemos n = 2, de modo que y
Entonces,
Al sustituir en la ecuación original se obtiene
-2 du
-u
dx - u -1 = e -x u -2
dy>dx = -y2 du>dx = -u-2 -y du>dx.
-2 u = y du>dx =
dy>dx.
1 - 2 = y -1
dy
dx - y = e -x y 2
dy
dx
1 - n
u = y
du
+ s1 - ndPsxdu = s1 - ndQsxd.
dx + Psxdy = Qsxdy n .
o, de manera equivalente,
du
dx + u = -e -x .
Esta última ecuación es lineal en la variable dependiente (desconocida)
u.
Resuelva las ecuaciones diferenciales de los ejercicios 33 a 36.
33. 34.
35. 36. x2y¿+2xy = y 3
xy¿ +y = y -2
y¿ -y = xy 2
y¿ -y = -y 2
Dada una ecuación diferencial dy>dx = ƒsx, yd y una condición inicial ysx0d = y0, podemos
aproximar la solución exacta y = ysxd por medio de su linealización
Lsxd = ysx0d + y¿sx0dsx - x0d o Lsxd = y0 + ƒsx0, y0dsx - x0d.