Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

620 Capítulo 8: Técnicas de integración
0.2
0.1
0
y
y
ln x
x 2
1 b
FIGURA 8.19 El área debajo de esta
curva es una integral impropia (ejemplo 1).
x
El valor que asignamos al área bajo la curva, de 0 a q, es
L0
q
e -x>2 dx = lím
b: qL0 b
e -x>2 dx = 2.
DEFINICIÓN Integrales impropias del tipo I
Las integrales con límites de integración infinitos son integrales impropias del
tipo I.
1. Si f (x) es continua en [a, q), entonces
2. Si f (x) es continua en (– q, b], entonces
3. Si f (x) es continua en (– q, q), entonces
ƒsxd dx =
L-q
L
en donde c es cualquier número real.
q
La
L
b
-q
q
ƒsxd dx = lím
ƒsxd dx = lím
c
-q
b: qLa a: - qLa ƒsxd dx +
Lc
En cada caso, si el límite es finito decimos que la integral impropia converge y
que el límite es el valor de la integral impropia. Si el límite no existe, la integral
impropia diverge.
b
b
ƒsxd dx.
ƒsxd dx.
q
ƒsxd dx,
Puede mostrarse que la elección de c en la parte 3 de la definición no es importante.
Podemos evaluar o determinar la convergencia o divergencia de 1 con cualquier
elección adecuada.
Cualquiera de las integrales de la definición anterior puede interpretarse como un
área si f 0 en el intervalo de integración. Por ejemplo, interpretamos la integral impropia
en la figura 8.18 como un área. En ese caso, el área tiene el valor finito 2. Si f 0 y la
integral impropia diverge, y decimos que el área bajo la curva es infinita.
q
-q ƒsxd dx
EJEMPLO 1 Evaluación de una integral impropia en [1, q d
¿El área bajo la curva y = sln xd>x de x = 1 a x =qes finita? De ser así, ¿cuál es?
2
Solución Determinamos el área bajo la curva, de x = 1 a x = b, y examinamos el límite
cuando b : q. Si el límite es finito, lo tomamos como el área bajo la curva (figura 8.19).
De 1 a b el área es
L1
b
ln x
x 2 dx = csln xd a- 1 x bd b
1
=-
=-
ln b
b - c1x d b
1
ln b
b
- 1
b
+ 1.
-
L1
b
a- 1 x ba1x b dx
Integración por partes con
u = ln x, dy = dx>x
du = dx>x, y = -1>x.
2 ,